調和数列

調和数列︵ちょうわすうれつ、harmonic sequence または harmonic progression︶とは、各項の逆数を取ると等差数列となる数列である。ピタゴラス音律では、ドの弦の長さを 1とすると、ソは 2/3、1オクターブ高いドは 1/2 の長さになる。各項の逆数はそれぞれ 1, 3/2, 2となり、公差が 1/2 の等差数列となる。よって、1, 2/3, 1/2 は調和数列である。

一般項と漸化式

調和数列とは、一般項 h_nが aを初項とし定数 dを用いて

$h_{n}={\frac {1}{a+(n-1)d}}$$h_{n}={\frac {1}{a+(n-1)d}}$
と表せる数列 {h_n} のことである。ここで −1/d は自然数でないとする。このとき、a は初項である。各項は隣接する2項の調和平均になっている︵調和中項︶。調和数列の極限は 0 である。例としては、

$12,\,6,\,4,\,3,\,{\frac {12}{5}},\,2,\dots ,{\frac {12}{n}},\dots$$12,\,6,\,4,\,3,\,{\frac {12}{5}},\,2,\dots ,{\frac {12}{n}},\dots$
$10,\,30,\,-30,\,-10,\,-6,\,-{\frac {30}{7}},\dots ,{\frac {30}{5-2n}},\dots$$10,\,30,\,-30,\,-10,\,-6,\,-{\frac {30}{7}},\dots ,{\frac {30}{5-2n}},\dots$
などが挙げられる。

n 番目の項と m番目の項の関係を表す漸化式は

$h_{n}={\frac {h_{m}}{1+(n-m)d}}$$h_{n}={\frac {h_{m}}{1+(n-m)d}}$
である。

この数列の隣接2項間漸化式は

${\frac {1}{h_{n+1}}}={\frac {1}{h_{n}}}+{\frac {d}{h_{1}}}\quad (n\geq 1)$${\frac {1}{h_{n+1}}}={\frac {1}{h_{n}}}+{\frac {d}{h_{1}}}\quad (n\geq 1)$
である。

調和数列の項の積

一般項 $h_{n}={\frac {a}{1+(n-1)d}}$$h_{n}={\frac {a}{1+(n-1)d}}$, 項数 nの調和数列 {h_n} の総乗は

$h_{1}h_{2}\cdots h_{n}={\frac {\left({\frac {a}{d}}\right)^{n}}{\left({\frac {1}{d}}\right)^{\overline {n}}}}=\left({\frac {a}{d}}\right)^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{d}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{d}}+n\right)}}$$h_{1}h_{2}\cdots h_{n}={\frac {\left({\frac {a}{d}}\right)^{n}}{\left({\frac {1}{d}}\right)^{\overline {n}}}}=\left({\frac {a}{d}}\right)^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{d}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{d}}+n\right)}}$
で表される。ここで、 $x^{\overline {n}}$$x^{\overline {n}}$は上昇階乗冪︵x から 1ずつ増やしながら x+ n− 1 までの n個の総乗︵階乗の類似物︶、Γ は ガンマ関数を表す。

調和数列の逆数和

調和数列は各項の逆数を取ると等差数列になることから、等差数列の関係から調和数列の関係を得ることができる。

一般項 $h_{n}={\frac {a}{1+(n-1)d}}$$h_{n}={\frac {a}{1+(n-1)d}}$, 項数 nの調和数列 {h_n} の全ての項の逆数和は、次の式で表される。

${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{h_{n}}}={\frac {n}{2}}\left({\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{n}}}\right)={\frac {n\{2+(n-1)d\}}{2a}}$${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{h_{n}}}={\frac {n}{2}}\left({\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{n}}}\right)={\frac {n\{2+(n-1)d\}}{2a}}$

調和数列の級数

調和数列の級数は一般調和級数

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a}{1+(n-1)d}}={\frac {a}{d}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n-1+{\frac {1}{d}}}}$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a}{1+(n-1)d}}={\frac {a}{d}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n-1+{\frac {1}{d}}}}$
になる。これは発散級数である。