4つの4

4つの4（よっつのよん）は、4つの4と数学記号を使い、さまざまな数（普通は整数）を作ることを目指すパズル（数学パズル）である。フォーフォーズ（Four fours）ともいう。

使用可能な記号

日本の場合、一般的には以下の記号（演算）が使われているようである。

• 四則演算
• 小数点
• 冪乗
• 平方根
• 階乗
• 循環小数の循環節を表す点 $\left(.{\dot {4}}=0.{\dot {4}}=0.444\cdots ={\frac {4}{9}}\right)$

以下の記号が用いられることもある。

• 二重階乗 !!（1または2からその数までの偶数のみまたは奇数のみの積）
• ガウス記号（小数点以下の端数を切り捨てる）
• ガンマ関数（xが整数ならばΓ(x)=(x-1)!）
• パーセント（4% = 0.04）
• Σ（その数までの和）

例

基本的な例

$44$	$=44+4-4$	・・・数を並べて2桁以上の数にしてもよい
	$={{4\times 4.4} \over .4}$	・・・整数部分が0の小数はその0を省略できる
	$=4!+4!-{\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}$	・・・階乗、平方根を使用した例

0から10までの例

• 0 = 44 − 44
• 1 = 44 ÷ 44
• 2 = 4 ÷ 4 + 4 ÷ 4
• 3 = (4 + 4 + 4) ÷ 4
• 4 = 4 + (4 − 4) × 4
• 5 = (4 × 4 + 4) ÷ 4
• 6 = 4 + (4 + 4) ÷ 4
• 7 = 44 ÷ 4 − 4
• 8 = 4 + 4 + 4 − 4 = 4 × 4 − 4 − 4
• 9 = 4 + 4 + 4 ÷ 4
• 10 = (44 − 4) ÷ 4

記号を多用した例

$149={\sqrt {\sqrt {\sqrt {{({\sqrt {4}}/.4)}^{4!}}}}}+4!$$149={\sqrt {\sqrt {\sqrt {{({\sqrt {4}}/.4)}^{4!}}}}}+4!$

その他

このパズルは1881年に科学雑誌﹁ノレッジ﹂に掲載されたものであり、1から1000まで︵ただし、113、157、878、881、893、917、943、946、947を除く︶の解答例が示された。解の示されていない113は、一般的に使われる記号︵使用可能な記号の節の循環小数まで︶では表すことができないといわれている。後半の記号を使った解としては、


${\displaystyle {\begin{aligned}113&=\Gamma (\Gamma ($4))-{\frac {4!+4}{4}}\\&=\left({\frac {4!+4}{4}}\right)!!+4!!\\&=\Sigma \Sigma 4\times {\sqrt {4}}+\Sigma 4-\Sigma {\sqrt {4}}\\&=[(4!+4.4)\times 4]\end{aligned}}} ${\begin{aligned}113&=\Gamma (\Gamma (4))-{\frac {4!+4}{4}}\\&=\left({\frac {4!+4}{4}}\right)!!+4!!\\&=\Sigma \Sigma 4\times {\sqrt {4}}+\Sigma 4-\Sigma {\sqrt {4}}\\&=[(4!+4.4)\times 4]\end{aligned}}$

などがあった。

対数関数 $\log x$$\log x$︵底は任意でよい︶または2変数関数としての対数 $\log _{x}y$$\log _{x}y$を用いてよい場合、次の式によって4つの4ですべての有理数が表現できる。 以下に正の有理数の場合を示すが、負の有理数はマイナス記号で、0は四則演算で表現できる。


${\frac {n}{m}}={\frac {\log {\Biggl (}\log \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}{\Biggr )}-\log(\log 4)}{\log {\Biggl (}\log \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{m}{\Biggr )}-\log(\log 4)}}=\log _{\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{m}}{\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}}$${\frac {n}{m}}={\frac {\log {\Biggl (}\log \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}{\Biggr )}-\log(\log 4)}{\log {\Biggl (}\log \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{m}{\Biggr )}-\log(\log 4)}}=\log _{\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{m}}{\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}}$

さらに、3つの4ですべての整数が表現できる。 以下に正の整数の場合を示すが、やはり負の整数はマイナス記号で、0は四則演算で表現できる。


$n=-{\frac {\log {\Biggl (}\log \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}{\Biggr )}-\log(\log 4)}{\log {\sqrt {4}}}}=-\log _{\sqrt {4}}{\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}}$$n=-{\frac {\log {\Biggl (}\log \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}{\Biggr )}-\log(\log 4)}{\log {\sqrt {4}}}}=-\log _{\sqrt {4}}{\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}}$

似た問題に、その年の数字︵2004年なら 2,0,0,4︶を使って数を作る遊びもある。

関連項目

• 小町算