6j記号

ウィグナーの6j記号は、1940年にユージン・ウィグナーによって定義され、1965年に発表された。ラカー係数と次のような関係にある。

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).$${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).$
ラカー係数よりも高い対称性を持っている。

対称性

6j記号は任意の二つの列の交換に対して不変である。

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}.$${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}.$
任意の2つの列における上下の要素を入れ替えても不変である。

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.$${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.$
6j記号

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}$${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}$
は、$j_{1}$$j_{1}$、$j_{2}$$j_{2}$、$j_{3}$$j_{3}$に対して、以下の三角不等式を満たさない場合は0となる。

$j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}.$$j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}.$
上下の要素の入れ替えに対する対称性とあわせて考えると、$(j_{1},j_{5},j_{6})$$(j_{1},j_{5},j_{6})$、$(j_{4},j_{2},j_{6})$$(j_{4},j_{2},j_{6})$、$(j_{4},j_{5},j_{3})$$(j_{4},j_{5},j_{3})$に対しても三角不等式が満たされなければならない。

別の形

${\begin{Bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{Bmatrix}}=\prod _{i=1}^{4}{\sqrt {\Delta ({\hat {\alpha }}_{i})}}\sum _{k}(-1)^{k}{\frac {(k+1)!}{\prod _{j=1}^{4}(k-\alpha _{j})!\prod _{l=1}^{3}(\beta _{l}-k)!}}$${\begin{Bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{Bmatrix}}=\prod _{i=1}^{4}{\sqrt {\Delta ({\hat {\alpha }}_{i})}}\sum _{k}(-1)^{k}{\frac {(k+1)!}{\prod _{j=1}^{4}(k-\alpha _{j})!\prod _{l=1}^{3}(\beta _{l}-k)!}}$

ここで、

${\begin{aligned}\Delta (a,b,c)={\frac {(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!}{(a+b+c+1)!}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\Delta (a,b,c)={\frac {(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!}{(a+b+c+1)!}}\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\hat {\alpha }}_{1}&=(a,b,c)&{\hat {\alpha }}_{2}&=(d,e,c)&{\hat {\alpha }}_{3}&=(a,e,f)&{\hat {\alpha }}_{4}&=(d,b,f)\\\alpha _{1}&=a+b+c&\alpha _{2}&=d+e+c&\alpha _{3}&=a+e+f&\alpha _{4}&=d+b+f\\\beta _{1}&=a+b+d+e&\beta _{2}&=a+c+d+f&\beta _{3}&=b+c+e+f\end{aligned}}$${\begin{aligned}{\hat {\alpha }}_{1}&=(a,b,c)&{\hat {\alpha }}_{2}&=(d,e,c)&{\hat {\alpha }}_{3}&=(a,e,f)&{\hat {\alpha }}_{4}&=(d,b,f)\\\alpha _{1}&=a+b+c&\alpha _{2}&=d+e+c&\alpha _{3}&=a+e+f&\alpha _{4}&=d+b+f\\\beta _{1}&=a+b+d+e&\beta _{2}&=a+c+d+f&\beta _{3}&=b+c+e+f\end{aligned}}$

特殊な場合

$j_{6}=0$$j_{6}=0$となる場合、6j記号は次のようになる。

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\Delta (j_{1},j_{2},j_{3}).$${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\Delta (j_{1},j_{2},j_{3}).$
$(j_{1},j_{2},j_{3})$$(j_{1},j_{2},j_{3})$が三角不等式を満たす場合、$\Delta (j_{1},j_{2},j_{3})$$\Delta (j_{1},j_{2},j_{3})$は1となり、それ以外は0となる。この対称性の関係は、どれかの$j$$j$が0となる場合の導出に用いられる。

直交性

6j記号は次の直交関係を満たす。

$\sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}\Delta (j_{1},j_{5},j_{6})\Delta (j_{4},j_{2},j_{6}).$

参考

• クレブシュ-ゴルダン係数
• 3j記号
• ラカー係数

文献

• Biedenharn, L. C.; van Dam, H. (1965). Quantum Theory of Angular Momentum: A collection of Reprints and Original Papers. New York: Academic Press. ISBN 0120960567 

• Edmonds, A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-07912-9 

• Condon, Edward U.; Shortley, G. H. (1970). “Chapter 3”. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09209-4 
• Messiah, Albert (1981). Quantum Mechanics (Volume II) (12th edition ed.). New York: North Holland Publishing. ISBN 0-7204-0045-7 

• Brink, D. M.; Satchler, G. R. (1993). “Chapter 2”. Angular Momentum (3rd edition ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851759-9 

• Zare, Richard N. (1988). “Chapter 2”. Angular Momentum. New York: John Wiley. ISBN 0-471-85892-7 

• Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0201135078 
• Johansson, H. T., & Forssén, C. (2016). Fast and accurate evaluation of Wigner 3 j, 6 j, and 9 j symbols using prime factorization and multiword integer arithmetic. SIAM Journal on Scientific Computing, 38(1), A376-A384.

外部リンク

• Anthony Stone’s Wigner coefficient calculator (Gives exact answer)
• Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator
• 369j-symbol calculator at the Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science