A∞-オペラド

代数学、代数的トポロジー、あるいはオペラド理論において、A∞-オペラドとは、積写像のパラメータ空間で、連接ホモトピーの類似概念である。

定義

位相空間上の対称群の作用によって構成されるオペラドAはA∞と呼ばれ、その'A(N)'の全体がなす空間は_Σn-オペラド空間︵_ΣN対称群であり、乗算作用︵N∈N︶を有する︶となる。その空間'A(N)'が可縮である場合は、非Σオペラドが構成され︵非対称オペラドと呼ばれる︶、オペラドAは_A∞となる。位相空間以外の圏では、可縮を鎖複体の圏と擬同型なものに置き換える必要がある。

An-オペラド

用語の文字Aは﹁連想﹂を表し、無限大記号は、﹁任意﹂よりも高いホモトピーまで連想性が必要であることを意味する。より一般に、 A_n- オペラド ︵ n ∈ N ︶が定義でき、これは特定のレベルのホモトピーまでしか結合しないパラメータ乗算を持つ。

A∞-オペラドと単ループ空間

空間Xを体上の多元環とすると、 BXはループ空間となる。 $A_{\infty }$$A_{\infty }$の連結成分のπはモノイド基底となる。体上の多元環である場合、$A_{\infty }$$A_{\infty }$ -オペラドは$\mathbf {A} _{\infty }$$\mathbf {A} _{\infty }$ -空間になる。ループ空間において、この特性による3つの結果がある。まず、ループ空間は$A_{\infty }$$A_{\infty }$ -空間になる。第二に、接続された$A_{\infty }$$A_{\infty }$-空間Xがループ空間になる。第三に、切断可能で群完備な$A_{\infty }$$A_{\infty }$ -空間はループ空間となる。

ホモトピー理論における$A_{\infty }$$A_{\infty }$-オペラドの重要性は、$A_{\infty }$$A_{\infty }$-オペラドとループ空間上の代数関係に由来する。

A∞-代数

$A_{\infty }$$A_{\infty }$-オペラド上の多元環は$A_{\infty }$$A_{\infty }$-代数と呼ばれる。例えば、シンプレクティック多様体の深谷圏がある︵擬正則曲線も参照︶。

例

有用ではないが最も自明な$A_{\infty }$$A_{\infty }$ -オペラドの例は次式で与えられる。${\displaystyle a($n)=\Sigma _{n}} $a(n)=\Sigma _{n}$ 。このオペラドは、結合法則の積を表している。定義上、この$A_{\infty }$$A_{\infty }$-オペラドはホモトピー同値な写像を持っている。

スタシェフによるポリトープで与えられる$A_{\infty }$$A_{\infty }$ -オペラドとしてアソシアヘドラがある 。

組み合わせ論の例として、微小階差のオペラドがある‥空間${\displaystyle A($n)} $A(n)$は単位区間から、n個の互いに素な区間への埋め込み全体で構成される。

関連項目

• ホモトピー結合多元環
• オペラド
• E-無限オペラド
• ループ空間