e進法

 e進法とは、記数法の底に自然対数の底︵ネイピア数$e$$e$︶を使った記数法である。︵実用的ではないが︶ある仮定の下で最も経済的である、という特徴がある。

e 進法が最も経済的な記数法であることの証明

数を $x$$x$( $x>0,x\in \mathbb {R}$$x>0,x\in \mathbb {R}$)進法で表すとしたとき，
この数一桁を表すのに $x$$x$個の記憶素子が要求されるものと仮定する。このとき、$n$$n$ ( $n$$n$は定数)桁の数を表すのに必要な記憶素子の数 ${\displaystyle N($x)} $N(x)$は，

${\displaystyle N($x)=nx} $N(x)=nx$
と表せる．
また， $x$$x$進法で表された $n$$n$桁の数の情報量 $I$$I$( $I$$I$は定数， $I>x$$I>x$)について，

$I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}$$I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}$
従って， $I$$I$の情報量を $x$$x$進法の $n$$n$桁で表すのに必要な記憶素子の数 ${\displaystyle N($x)} $N(x)$は，

${\displaystyle N($x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}} $N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}$
ここで，

${\displaystyle {\begin{cases}N^{\prime }($x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}} ${\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}$
より， ${\displaystyle N($x)} $N(x)$を最小にする $x$$x$の値を求めるには， ${\displaystyle N($x)} $N(x)$の微分係数が0となるような $x$$x$の値を求めれば良い．

${\displaystyle {\begin{aligned}N^{\prime }($x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}} ${\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$
$\ln x=1$$\ln x=1$ のとき，${\displaystyle N^{\prime }($x)=0} $N^{\prime }(x)=0$ であるので，

$x=e$$x=e$
以上より最も高効率な記数法は $e$$e$進法である．

参考文献

• 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会
• 桜井進『超・超面白くて眠れなくなる数学』PHP研究所

関連項目

• ネイピア数
• 広義の記数法
• 三進法