Fσ集合

数学の一分野である位相空間論における F_σ-集合とは、位相空間の部分集合で、閉集合の可算和に書けるようなものを言う。由来としては、Fが閉︵集合︶を意味するフランス語の fermé から、σ が合併を意味するフランス語の somme からそれぞれとられている。

性質

F_σ-集合の補集合は G_δ-集合である。

可算個のF_σ-集合の合併はまたF_σ-集合であり、有限個のF_σ-集合の交わりはふたたびF_σ-集合を成す︵F_σ-集合の可算交叉はF_σδ-集合という︶。

例と反例

●任意の閉集合は明らかにF_σ-集合である。

●有理数全体の成す集合 Qは実数全体の成す集合 RのF_σ-集合である。無理数全体の成す集合 P= R∖ Qは RのF_σ-集合ではない。

●チホノフ空間において、一点集合 {x} は閉集合となるから、任意の高々可算な集合はF_σ-集合になる。

●距離化可能空間においては、任意の開集合がF_σ-集合になり、また任意の閉集合がG_δ-集合になる。

座標平面 R²上の点 (x, y) で x/y が有理数となるようなもの全体の成す集合 AはF_σ-集合である。これは Aが原点を通り、傾きが有理数であるような直線の和

$A=\bigcup _{r\in \mathbb {Q} }\{(ry,y)\mid y\in \mathbb {R} \}$$A=\bigcup _{r\in \mathbb {Q} }\{(ry,y)\mid y\in \mathbb {R} \}$
として書けることによる。ここで有理数全体の成す集合 Qが可算集合であることに注意。

参考文献

• John L. Kelley, General topology, van Nostrand, 1955.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR507446 

関連項目

• G_δ-集合
• ボレル階層