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数 学 に お い て 集 合 族 の 和 集 合 ︵ わ し ゅ う ご う ︶ 、 あ る い は 合 併 集 合 ︵ が っ ぺ い し ゅ う ご う ︶ 、 合 併 ︵ が っ ぺ い 、 英 語 : u n i o n ︶ 、 あ る い は 演 算 的 に 集 合 の 和 ︵ わ 、 英 語 : s u m ︶ 、 も し く は 結 び ︵ む す び 、 英 語 : j o i n ︶ と は 、 集 合 の 集 ま り ︵ 集 合 族 ︶ に 対 し て 、 そ れ ら の 集 合 の い ず れ か 少 な く と も 一 つ に 含 ま れ て い る よ う な 要 素 を 全 て 集 め る こ と に よ り 得 ら れ る 集 合 の こ と で あ る [ 注 1 ] 。
和 集 合 の ベ ン 図 に よ る 視 覚 化
集 合 A と 集 合 B が 与 え ら れ た と き 、 集 合 A ∪ B を 、 A , B い ず れ か の 集 合 の 少 な く と も 一 方 に 含 ま れ る 元 x の 全 体 ( x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ま た は x ∈ B ) と し て 定 め て 、 あ る い は 同 じ こ と だ が
A
∪
B
:=
{
x
∣
x
∈
A
or
x
∈
B
}
{\displaystyle A\cup B:=\{x\mid x\in A{\mbox{ or }}x\in B\}}
と し て 定 義 さ れ る 集 合 を 、 集 合 A , B の 和 集 合 と 呼 ぶ 。 ま た 特 に 、 A と B が 交 わ り を 持 た な い と き の 和 集 合 A ∪ B を A と B の ︵ 集 合 論 的 ︶ 直 和 ︵ ち ょ く わ 、 [ s e t t h e o r i c ] d i r e c t s u m ︶ あ る い は 非 交 和 ︵ ひ こ う わ 、 d i s j o i n t u n i o n ︶ と 呼 び 、 " A ∪ B ( d i s j o i n t ) " や 、 明 示 的 に 記 号 を 違 え て
A
⊔
B
{\displaystyle A\sqcup B}
な ど と 記 す こ と も あ る 。 ま た 、 集 合 の 族
M
=
{
M
λ
}
λ
∈
Λ
{\displaystyle {\mathfrak {M}}=\{M_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}
に 対 し て 、 集 合 族 に 属 す る い ず れ か の 集 合 に 属 す る 元
x
∈
M
λ
for some
λ
∈
Λ
{\displaystyle x\in M_{\lambda }{\mbox{ for some }}\lambda \in \Lambda }
の 全 体 と し て 集 合 族 の 和 を
⋃
M
≡
⋃
λ
∈
Λ
M
λ
:=
{
x
|
∃
λ
∈
Λ
:
x
∈
M
λ
}
{\displaystyle \bigcup {\mathfrak {M}}\equiv \bigcup _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda }:=\{x\ |\ {}^{\exists }\lambda \in \Lambda :x\in M_{\lambda }\}}
と 定 義 す る 。 有 限 個 の 元 か ら な る 集 合 族 A 1 , A 2 , . . . , A k の 和 集 合 は
A
1
∪
A
2
∪
⋯
∪
A
k
,
⋃
n
=
1
k
A
n
{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{k},\quad \bigcup _{n=1}^{k}A_{n}}
な ど と も 表 す 。 自 然 数 な ど で 添 え 字 付 け ら れ た 集 合 の 和 に つ い て も
A
1
∪
A
2
∪
⋯
,
⋃
n
=
1
∞
A
n
{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots ,\quad \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}
な ど の よ う に 表 す こ と が あ る 。 ま た 、 集 合 族 に 属 す る 集 合 か ら ど の 異 な る 二 つ を 選 ん で も そ れ ら が 交 わ り を 持 た な い と き 、 つ ま り
M
,
N
∈
M
,
M
≠
N
⇒
M
∩
N
=
∅
{\displaystyle M,N\in {\mathfrak {M}},\ M\neq N\Rightarrow M\cap N=\emptyset }
と な る と き 、 そ の 集 合 族 の 和 集 合 は 直 和 、 あ る い は 非 交 和 で あ る と い い 、
∐
M
,
⨆
M
,
∑
M
,
∑
∪
M
{\displaystyle \coprod {\mathfrak {M}},\quad \bigsqcup \,{\mathfrak {M}},\quad \sum {\mathfrak {M}},\quad \sum {}^{\cup }\,{\mathfrak {M}}}
な ど の 記 号 を 用 い る こ と が あ る 。
● P = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } ︵ 10 以 下 の 奇 数 の 集 合 ︶ 、 Q = { 2 , 3 , 5 , 7 } ︵ 10 以 下 の 素 数 の 集 合 ︶ と す る と 、 P ∪ Q = { 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 9 } で あ る 。
● 実 数 か ら な る 半 開 区 間 の 族 M = { ( 0 , 1 − 1 / n ] | n は 0 で な い 自 然 数 } と す る と 集 合 族 M の 和 集 合 は 開 区 間 ( 0 , 1 ) で あ る ‥
⋃
M
=
⋃
n
=
1
∞
(
0
,
1
−
1
n
]
=
(
0
,
1
)
.
{\displaystyle \bigcup \mathbf {M} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(0,\,1-{\frac {1}{n}}\right]=(0,1).}
実 際 、 0 < x < 1 な る x に 対 し て 、 x = 1 − ε と な る よ う な 正 の 実 数 ε が 存 在 す る が 、 こ こ で 1 / ε < n と な る 自 然 数 n は 必 ず 存 在 し て 、 こ の n に 対 し て x は 半 開 区 間 ( 0 , 1 − 1 / n ] に 属 す る 。 一 方 、 1 ≤ x と な る x は M の ど の 半 開 区 間 に も 属 さ な い の で 、 和 集 合 に も 属 さ な い 。
● 実 数 の 全 区 間 ︵ 数 直 線 ︶ R = ( − ∞ , ∞ ) は 長 さ が 1 の 半 開 区 間 の 族 { ( m , m + 1 ] | m は 整 数 } の 直 和 に 分 割 で き る 。 つ ま り
R
=
∐
m
=
−
∞
∞
(
m
,
m
+
1
]
{\displaystyle \mathbb {R} =\coprod _{m=-\infty }^{\infty }(m,m+1]}
が 成 り 立 つ 。
空 な る 合 併 [ 編 集 ]
● 集 合
X
{\displaystyle X}
に 対 し て ,
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(X )}
を
X
{\displaystyle X}
の 冪 ︵ ベ キ ︶ 集 合 と す る . 全 体 集 合 U を 固 定 し 、 ∪ ∅ を 考 え る と 、 定 義 に よ り
⋃
∅
=
⋃
A
∈
∅
A
=
{
x
∈
U
∣
∃
A
∈
∅
:
x
∈
A
}
=
{
x
∈
U
∣
(
∃
A
∈
P
(
U
)
)
[
A
∈
∅
⏟
false
&
x
∈
A
]
}
=
∅
{\displaystyle \bigcup \varnothing =\bigcup _{A\in \varnothing }A=\{x\in U\mid {}^{\exists }A\in \varnothing :x\in A\}=\{x\in U\mid ({}^{\exists }A\in {\mathcal {P}}(U ))[\underbrace {A\in \varnothing } _{\text{false}}\ \&\ x\in A]\}=\varnothing }
と な る 。 こ こ で , 最 初 の 空 集 合 と 最 後 の 空 集 合 は ニ ュ ア ン ス が 違 う ︵ 後 者 は 単 な る 空 集 合 だ が 前 者 は 属 す る 集 合 が な い 集 合 族 ︶ . な お 最 後 の 等 号 は ﹁ 条 件 を 満 た す x ∈ U が 存 在 し な い ﹂ と い う こ と か ら 従 う 。 な お 、 ∩ の 場 合 も 、 そ の 定 義 に よ り ∩ ∅ = U が わ か る 。
一 般 に 和 集 合 に は 以 下 の 恒 等 式 が 存 在 す る 。 A , B , C を 任 意 の 集 合 と し 、 a , b , c を 任 意 の 実 数 と す る 。
交 換 法 則
A
∪
B
=
B
∪
A
{\displaystyle A\cup B=B\cup A}
こ れ は
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a\,}
に 対 応 し 、 和 の 交 換 法 則 に 相 当 す る 。
結 合 法 則
(
A
∪
B
)
∪
C
=
A
∪
(
B
∪
C
)
{\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}
こ れ は
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)\,}
に 対 応 し 、 和 の 結 合 法 則 に 相 当 す る 。
分 配 法 則
A
∩
(
B
∪
C
)
=
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}
こ れ は
a
×
(
b
+
c
)
=
(
a
×
b
)
+
(
a
×
c
)
{\displaystyle a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\,}
に 対 応 し 、 分 配 法 則 に 相 当 す る 。
A
∪
(
B
∩
C
)
=
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}
こ れ も 集 合 の 演 算 に 成 り 立 ち 、 数 の 演 算 と は 異 な っ て い る 。
濃 度
有 限 集 合 か ら な る 有 限 な 集 合 族
M
=
{
M
λ
}
λ
∈
Λ
{\displaystyle {\mathfrak {M}}=\{M_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}
に 対 し
|
⋃
M
|
=
∑
M
⊂
Λ
(
−
1
)
|
M
|
−
1
|
⋂
λ
∈
M
M
λ
|
{\displaystyle |\bigcup {\mathfrak {M}}|=\sum _{\mathrm {M} \subset \Lambda }(-1)^{|\mathrm {M} |-1}|\bigcap _{\lambda \in \mathrm {M} }M_{\lambda }|}
.
が 成 立 。
そ の 他
A
∪
∅
=
A
{\displaystyle A\cup \varnothing =A}
こ こ で
∅
{\displaystyle \varnothing \,}
は 空 集 合 を 表 す 。 こ れ は
a
+
0
=
a
{\displaystyle a+0=a\,}
に 対 応 し 、
∅
{\displaystyle \varnothing \,}
は 集 合 の 加 法 の 単 位 元 に 相 当 す る 。
A
∪
A
=
A
{\displaystyle A\cup A=A}
こ れ は 冪 等 演 算 で あ り 、 数 の 演 算 と は 異 な る 。
(
A
∪
B
)
c
=
A
c
∩
B
c
{\displaystyle (A\cup B)^{\mathrm {c} }=A^{\mathrm {c} }\cap B^{\mathrm {c} }}
こ こ で c は 補 集 合 を 表 す 。 こ れ は ド ・ モ ル ガ ン の 法 則 と 呼 ば れ る 。
^ 文献によっては和集合と合併ということばを使い分けることがあるが、そのような使い分けはあまり一般的でない。また、齋藤 (2002 , p. 5) によれば、普通の数学者は合併集合を好み、集合論の専門家は和集合を好むようであるが、中島 (2012 , p. 69) によれば、和集合が一般的に使われている。
関連項目 [ 編集 ]