Hom関手
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圏論において、対象の間の射の集合︵hom-setともいう︶は、集合の圏への関手を構成する。この関手をHom関手︵ほむかんしゅ、英語: Hom functor︶と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。
定義[編集]
C を局所的に小さな圏、つまり、任意のhom-クラスが真クラスではなく集合である圏とする。C の中のすべての対象 Aと Bに対し、次のように集合の圏 Set への関手を定義する。Hom (A, _) : C → Set | Hom (_, B) : Cop → Set |
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共変関手 Hom(A, _) は以下で与えられる:
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反変関手 Hom(_, B) は以下で与えられる:
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関手 Hom(_, B) は、B の点の関手︵英語: functor of points︶とも呼ばれる。関手のペア Hom(A, _) と Hom(_, B) は自然な方法で関係付けられる。任意の射のペア f : B→ B' と h : A' → Aに対して、次の図式が可換となる。
2つの経路は g : A→ Bを f∘g∘h : A' →B' に写す。
上の図式の可換性は、Hom(_, _) が C× Cから Set への、第1変数について反変で第2変数について共変である双関手であることを示している。すなわち、Hom(_, _) は双関手
である。Cop は C の逆圏である。関手が圏 C からのものであることを強調するために、HomC (_, _) という記号が使われることもある。
米田の補題[編集]
詳細は「米田の補題」を参照
上の可換図式を見ると、すべての射 h : A' → A は自然変換
を与え、すべての射 f : B →B' は自然変換
を与える。米田の補題は、Hom関手の間のすべての自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 Cから関手圏 SetCop への埋め込みとなる充満かつ忠実な関手を与える。
内部Hom関手[編集]
圏 C上の関手が、Set ではなく圏 C自身に値を持ち、Hom のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば と書かれたり、と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで
と書かれることもある。例としてはen:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、閉圏と呼ばれる。
閉圏の単位対象を Iとする。このとき、次の同型が成り立つ。
閉圏の単位対象を Iとする。このとき、次の同型が成り立つ。
閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、
である。ここで はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は Xと Zの双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 を内部Homと呼ぶ。 がデカルト積 であるとき、対象 を指数対象と呼び、 と書くこともある。
内部Homは、圏の内部言語と呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語である線形型システムがある。
性質[編集]
- 次の形の関手は前層である:同様に、Hom(A, _) の形の関手は余前層である。 ●関手 F : C→ Set がある Hom(A, _) と自然に同型であるとき、F は表現可能関手であるという。同様に、Hom(_, A) に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。 ●関手 Hom(_, _) : Cop× C→ Set は定義からプロファンクタ︵英語: Profunctor︶であり、特に恒等プロファンクタ である。 ●内部hom関手は極限を保存する。すなわち、hom(X, _) : C→ Cは極限を極限へ写し、同様に hom(_, X) : Cop→ Cは Copの極限︵すなわち Cの余極限︶を Cの極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。 ●A をアーベル圏、A を Aの対象とすると、HomA (A, _) は、A からアーベル群の圏 Abへの左完全共変関手である。この関手が完全であることと、A が射影的対象であることとは同値である[1]。 ●R を環、M を左 R-加群とする。関手 HomR (M, _) : Mod-R → Abは、テンソル積関手 _ ⊗R M : Ab→ Mod-R の右随伴関手である。
関連項目[編集]
●Ext関手 ●関手圏 ●表現可能関手脚注[編集]
(一)^ Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.参考文献[編集]
●Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8 ●Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1 2009年11月25日閲覧。 ●Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7外部リンク[編集]
●Hom functor at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/show/hom-functor ●Internal Hom at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/search?query=Internal+Hom