体積

体積; volume
量記号	V
次元	L3
種類	スカラー
SI単位	立方メートル (m3)
CGS単位	立方センチメートル (cm3)
DKS単位	リットル (L)
FPS単位	立方フィート (ft3)
プランク単位	プランク体積 (VP)
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体積︵たいせき、英: volume︶とは3次元空間において、その空間の領域の大きさを示す量︵物理量︶である^[1]^[2]。和語では嵩︵かさ︶という。

定義[編集]

上記の通り、三次元の構造︵モノなど︶の空間的な大きさの程度を示す量が体積であるが、厳密さが求められる数学においては、体積の定義の説明は複雑である。以下にその概略を示す︵難解であれば、#体積の算出法へ読み進んでさしつかえない︶。体積は、3次元空間内の部分集合︵すなわち三次元の図形︶に対して規定することができる。この三次元図形は、定義関数によって指定︵空間上の位置や形を決定︶することができる。体積とは、この定義関数を3次元座標系の全体にわたって積分して得られる値である^[3]。たとえば、ユークリッド空間で直交座標系における定義関数f(x,y,z)を使うと、この関数で表現される三次元図形の体積は三重積分を用いて次のように表される。

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y,z)dxdydz

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y,z)dxdydz

この定義から、0次元の概念である点や、1次元の概念の線、2次元の面といった次元が3未満の図形の﹁体積﹂については、それぞれこの積分の値は0となる。参考までに、体積のより広い概念として測度がある。

体積の公式[編集]

かいつまんでいえば体積とは、各片の長さが $a$ , $b$ , $c$ の直方体に対して、積 $a b c$ を計算したものである。これはもちろん上記の定義に則った結果である。基本的な三次元図形に対しては、上記の定義は簡単な計算式で表現することができる。以下にそれらの体積の計算法︵公式︶をいくつか示す。なお、式中の

π

は円周率 (3.14…)である。


図形	公式	注
立方体	$s$ ³	$s$ は一辺の長さ
直方体	$lwh$	$l$ , $w$ , $h$ はそれぞれ奥行き、幅、高さである^[4]
円柱	$π$ $r$ ² $h$	$r$ は上下の円の半径、 $h$ は高さである
球	4/3 $π$ $r$ ³	$r$ は球の半径である
円錐	1/3 $π$ $r$ ² $h$	$r$ は底面の円の半径、 $h$ は高さである
角柱	$Ah$	$A$ は底面積、 $h$ は高さである
平行六面体	\| $A$ · ( $B$ × $C$ )\|	$A$ , $B$ , $C$ は平行六面体を張る独立な3次元ベクトルである^[5]
任意の図形	∫ $A$ ( $h$ ) $dh$	$h$ 軸に沿って、関数 $A$ ( $h$ )で示される断面積をもつ図形である^[6]。ここで、 $h$ は高さ方向の変数である。

体積の単位[編集]

体積は、物理量としては﹁長さの3乗﹂の次元を有している。体積を計算する際に、長さの単位で表現される数値を︵公式などで︶計算するが、その長さの単位の3乗が一般に体積の単位となる。たとえば、mmであればmm³、kmであればkm³である^[7]。国際単位系では、体積の単位は立方メートル (m³)を使用する^[8^]。この単位は漢字で表記して立米︵りゅうべい︶と呼ばれることもある。また、立方センチメートル (cm³; cc^[9]やmLと同義)や、リットル (1,000 cm³ = L)も体積の単位として実用上よく用いられている。尺貫法における体積の単位は、石・斗・升・合・才などがある。

体積の計測[編集]

液体の体積を量る道具の例

化学分析では体積計が用いられる。特にガラス製のメスフラスコついては国際標準化機構 (ISO)にて詳細な構造や使用方法などの規格が定められている^[10]。体積の計測にはメスフラスコ︵全量フラスコ︶のほか、ホールピペット︵全量ピペット︶やメスピペット、ビュレット、メスシリンダーがある^[10]。メスフラスコのように、容器の全量の目盛まで液体を入れたときに目盛り等の表記値が体積を表す受用の器具︵英: To Contain (TC)、独: Einguss (E)で表記︶、および、ピペットやビュレットのように、固有の排出時間内に排出先端より出た液の量を体積として表す出用の器具︵同じくTo Deliver (TD)やAusguss (A)の表記︶に、これらは分類される^[10^]。

体積と容積[編集]

容積︵ようせき︶あるいは容量︵ようりょう︶は、ある容器の収納容量を考えたとき、その中に入り得る物体・物質の体積のことを指す。物理量としては、容積は体積と同じように算出可能であり^[11]、容積の単位は一般に体積と同じものを使用する。日本では、計量単位を定めている計量法体系において、﹁容積﹂の語が用いられることはなく、すべて﹁体積﹂あるいは﹁内容体積﹂と表記されている^[注釈 1]^[注釈^2]。食品表示基準においても、食品の内容量の表示規制として、﹁容積﹂ではなく﹁体積﹂あるいは﹁内容体積﹂が用いられている^[注釈^3]。

脚注[編集]

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注釈[編集]

(一)^ 計量法^[12]第2条第1項第1号の列挙の単位、別表第1体積の項。 (二)^ 計量単位令^[13]別表第1第11号﹁体積﹂、別表第3第5号﹁濃度﹂体積百分率など。 (三)^ 食品表示基準^[14]第3条︵横断的義務表示︶、内容量又は固形量及び内容総量1において、﹁内容重量、内容体積又は内容数量を表示することとし、内容体積はミリリットル又はリットル…﹂としている。

出典[編集]

(一)^ “体積｜算数用語集”. www.shinko-keirin.co.jp. 2023年10月20日閲覧。 (二)^ ブリタニカ国際大百科事典小項目事典: 体積. (三)^ 世界大百科事典第2版: 体積 (四)^ 上記本文と文字は異なるが、同じ意味である。つまるところ、何を文字に使っても直方体の体積の公式は変わらない。 (五)^ 式中の演算子はそれぞれ、"·" はドット積、"×" はクロス積を表す。"|x|"はxの絶対値を表す。 (六)^ この公式は、#定義からも分かるように、三重積分のうち二重積分のみを先に計算してしまった形の特別な場合︵二重積分の結果が $A$ ( $h$ )︶である。 (七)^ ここで単位の先頭にSI接頭語︵いわゆる補助単位︶が付いているが、いずれもm³︵立方メートル︶にSI接頭語を付けたものではない。順序としては、SI接頭語を付けた単位(mmやkm)をまず準備し、それらをそれぞれ3乗している。 (八)^ なお、SI基本単位としての長さの単位はメートル (m)である。 (九)^ ccは元来"cubic centimetre"の略称であり、これは"cm³"の英語での読みそのものである。その略号のccが単位として定着している。 (十)^ ^a ^b ^c穂坂光司﹁ガラス体積計の基礎知識﹂クライミング、2020年4月15日閲覧 (11)^ 容積の計算では、収納・収蔵できる空間領域の大きさで計算を行う。 (12)^ “計量法”. e-Gov法令検索. 総務省行政管理局. 2014年7月4日閲覧。 (13)^ “計量単位令”. e-Gov法令検索. 総務省行政管理局. 2014年7月4日閲覧。 (14)^ “食品表示基準”. e-Gov法令検索. 総務省行政管理局. 2016年4月17日閲覧。