5の平方根

5の平方根︵ごのへいほうこん︶は、平方して 5になる実数である。正のものと負のもののふたつがある。正の平方根は

${\sqrt {5}}$${\sqrt {5}}$
と書き、﹁ルート5﹂と読む。また、負の平方根は

$-{\sqrt {5}}$$-{\sqrt {5}}$
である。以下、正の平方根について記述する。

概要

オンライン整数列大辞典では十進記数法の小数点以下98桁まで表示されている。

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 24541 05209 25637 80489 94144 14408 37878 227...

この数の並びは規則性がない。すなわち、5の平方根は無理数であり、整数の比で表すことができない。語呂合わせでは﹁富士山麓オウム鳴く︵ふじさんろくおうむなく︶﹂などがある。

また、連分数で表記すると

${\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}$${\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}$
となる。

なお、黄金比は、1と5の平方根との相加平均の1に対する比であり、

$\mathbf {1} :{{\mathbf {1} +\mathbf {\sqrt {5}} } \over \mathbf {2} }$$\mathbf {1} :{{\mathbf {1} +\mathbf {\sqrt {5}} } \over \mathbf {2} }$
で表される。

また、フィボナッチ数列の一般項は、

$F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\phi ^{n}-(1-\phi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}$$F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\phi ^{n}-(1-\phi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}$
で表される。

関連項目

• 平方根
• 2の平方根
• 3の平方根

外部リンク

• 5の平方根の近似値（100万桁）2015年3月30日閲覧