5の平方根

5の平方根︵ごのへいほうこん︶は、平方して 5になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

{\sqrt {5}}

{\sqrt {5}}

と書き、﹁ルート5﹂と読む。また、負の平方根は

-{\sqrt {5}}

-{\sqrt {5}}

である。以下、正の平方根について記述する。

{\sqrt {5}}

{\sqrt {5}}

は無理数であることが知られており、したがって小数部分は循環しない。オンライン整数列大辞典によると、十進法表示の小数点以下98桁までは以下の通りである^[1]。

2.2360679774997896964091736

6873127623544061835961152

57242708972454105209256378

0489941441440837878227 \dots

性質[編集]

●

{\sqrt {5}}

{\sqrt {5}}

{\sqrt {5}}

{\sqrt {5}}

の有理数体

\mathbb {Q}

\mathbb {Q}

x 2 - 5

である。 ●

{\sqrt {5}}

{\sqrt {5}}

の連分数表示は

{\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}

{\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}

となる。 ●黄金比に

{\sqrt {5}}

{\sqrt {5}}

が登場する。具体的には

1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}

1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}

で表される。 ●フィボナッチ数列の一般項に現れる。

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\phi ^{n}-(1-\phi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\phi ^{n}-(1-\phi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}

で表される。