5の平方根

5の平方根︵ごのへいほうこん︶は、平方して 5になる実数である。正のものと負のもののふたつがある。正の平方根は

{\sqrt {5}}

{\sqrt {5}}

と書き、﹁ルート5﹂と読む。また、負の平方根は

-{\sqrt {5}}

-{\sqrt {5}}

である。以下、正の平方根について記述する。

概要

オンライン整数列大辞典では十進記数法の小数点以下98桁まで表示されている^[1]。 2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 24541 05209 25637 80489 94144 14408 37878 227... この数の並びは規則性がない。すなわち、5の平方根は無理数であり、整数の比で表すことができない。語呂合わせでは﹁富士山麓オウム鳴く︵ふじさんろくおうむなく︶﹂などがある。また、連分数で表記すると

{\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}

{\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}

となる。なお、黄金比は、1と5の平方根との相加平均の1に対する比であり、

\mathbf {1} :{{\mathbf {1} +\mathbf {\sqrt {5}} } \over \mathbf {2} }

\mathbf {1} :{{\mathbf {1} +\mathbf {\sqrt {5}} } \over \mathbf {2} }

で表される。また、フィボナッチ数列の一般項は、

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\phi ^{n}-(1-\phi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\phi ^{n}-(1-\phi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}

で表される。