上述のようにアーベル圏の著しい性質として加法圏になる事が挙げられるので、本節ではアーベル圏を導入する準備として、加法圏の定義とその性質を述べる。
加法圏は以下のように定義される:
加法圏の1番目の条件は以下のようにも言い換えられる:
定 理 ―
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
を 前 加 法 圏 と し 、 Z を
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
の 対 象 と す る と き 、 以 下 の 4 条 件 は 同 値 で あ る [ 7 ] 。
● Z は 始 対 象 で あ る 。
● Z は 終 対 象 で あ る 。
●
H
o
m
(
A
,
B
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}
の ア ー ベ ル 群 と し て の 単 位 元 を
0
A
B
:
A
→
B
{\displaystyle 0_{AB}~:~A\to B}
と 表 す と 、
0
Z
Z
=
i
d
Z
{\displaystyle 0_{ZZ}=\mathrm {id} _{Z}}
●
H
o
m
(
Z
,
Z
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (Z,Z)}
は 単 位 元 の み か ら な る 群 で あ る 。
加法圏の2番目の条件は以下のようにも言い換えられる:
定 理 ―
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
を 零 対 象 Z が 存 在 す る 前 加 法 圏 と す る と き 、 以 下 は 同 値 で あ る [ 1 2 ] 。
●
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
の 任 意 の 対 象 A 、 B に 対 し 、 A と B の 積 が 常 に 存 在 す る 。
●
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
の 任 意 の 対 象 A 、 B に 対 し 、 A と B の 余 積 が 常 に 存 在 す る 。
●
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
の 任 意 の 対 象 A 、 B に 対 し 、 A と B の 複 積 ︵ 英 語 版 ︶ ︵ 後 述 ︶ が 常 に 存 在 す る 。
ここで複積とは以下のように定義される概念である:
実は次が成立する:
定 理 ―
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
を 加 法 圏 と し 、 A 、 B を
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
対 象 と す る と き 、 A と B の 積 、 余 積 、 複 積 は 一 致 す る [ 1 2 ] 。
本節ではまずアーベル圏の定義を述べ、次にアーベル圏が加法圏になる事を見る。そしてアーベル圏上のホモロジー代数について述べ、最後にアーベル圏が小さい圏であれば加群の圏に埋め込める事を見る。
アーベル圏は以下のように定義される。
定 義 ― 圏
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
が 以 下 の 4 つ の 性 質 を み た す と き 、
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
は ア ー ベ ル 圏 で あ る と い う [ 1 3 ] ‥
(一)
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
に 零 対 象 が 存 在 す る 。
(二)
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
の 任 意 の 対 象 A 、 B に 対 し 、 A と B の 積 お よ び 余 積 が 常 に 存 在 す る 。
(三)
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
の 任 意 の 射
f
:
A
→
B
{\displaystyle f~:~A\to B}
に は 核
k
e
r
f
{\displaystyle \mathrm {ker} f}
と 余 核
c
o
k
e
r
f
{\displaystyle \mathrm {coker} f}
が 存 在 す る 。
(四) 任 意 の モ ニ ッ ク 射
f
:
A
→
B
{\displaystyle f~:~A\to B}
に 対 し あ る 射
g
:
B
→
C
{\displaystyle g~:~B\to C}
が 存 在 し 、
f
:
A
→
B
{\displaystyle f~:~A\to B}
は g の 核 で あ る 。 ま た 任 意 の エ ピ ッ ク 射
f
:
A
→
B
{\displaystyle f~:~A\to B}
に 対 し あ る 射
h
:
C
→
A
{\displaystyle h~:~C\to A}
が 存 在 し 、
f
:
A
→
B
{\displaystyle f~:~A\to B}
は h の 余 核 で あ る 。
アーベル圏
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
では射
f
:
A
→
B
{\displaystyle f~:~A\to B}
の射の核と余核の存在が保証されているので、以下の定義ができる:
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
がR -加群の圏の場合はf の余核C は
C
=
B
/
f
(
A
)
{\displaystyle C=B/f(A)}
なので、
c
:
B
→
B
/
f
(
A
)
{\displaystyle c~:~B\to B/f(A)}
の核は通常の意味でのf の像
f
(
A
)
{\displaystyle f(A)}
に一致する。一般のアーベル圏の場合も、像k は圏論的な意味での像の定義 を満たす[15] 。
像と双対的に余像も定義できる:
「核の余核」という定義より、
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
がR -加群の圏の場合、余像は通常の意味での余像
A
/
K
e
r
f
{\displaystyle A/\mathrm {Ker} f}
に一致する。一般のアーベル圏の場合も圏論的な意味での余像の定義も満たす。
アーベル圏では単射と全射を定義でき、これらはそれぞれモニック射、エピック射に一致する:
定 義 ―
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
を ア ー ベ ル 圏 と し 、
f
:
A
→
B
{\displaystyle f~:~A\to B}
を
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
の 射 と す る 。 こ の と き
● f が 単 射 ︵ 英 : i n j e c t i v e ︶ で あ る と は 、
K
e
r
f
=
0
{\displaystyle \mathrm {Ker} f=0}
と な る 事 を い う [ 1 7 ] 。
● f が 全 射 ︵ 英 : s u r j e c t i v e ︶ で あ る と は 、
C
o
k
e
r
f
=
0
{\displaystyle \mathrm {Coker} f=0}
と な る 事 を い う [ 1 7 ] 。
アーベル圏の重要な性質として、アーベル圏が加法圏になる事が挙げられる:
ア ー ベ ル 圏 の 定 義 か ら 、 零 対 象 の 存 在 性 と 積 の 存 在 性 は 明 ら か に 従 う の で 、
H
o
m
(
A
,
B
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}
に ア ー ベ ル 群 の 構 造 が 入 る こ と の み 示 せ ば 良 い 。 こ こ で は
H
o
m
(
A
,
B
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}
上 の 加 法 の 定 義 を 述 べ る に と ど め 、 加 法 が ア ー ベ ル 群 の 公 理 を 満 た す こ と の 証 明 は 略 す 。
H
o
m
(
A
,
B
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}
に 加 法 を 定 義 す る た め に い く つ か 記 号 を 定 義 す る 。 ア ー ベ ル 圏
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
の 対 象 C 、 A に 対 し 、 A と A 自 身 と の 積 を
A
←
p
1
A
×
A
→
p
2
A
{\displaystyle A{\overset {p_{1}}{\leftarrow }}A\times A{\overset {p_{2}}{\rightarrow }}A}
と し 、
f
1
,
f
2
:
C
→
A
{\displaystyle f_{1},f_{2}~:~C\to A}
を 2 つ の 射 と す る と き 、
f
1
×
f
2
:
C
→
A
×
A
{\displaystyle f_{1}\times f_{2}~:~C\to A\times A}
s u c h t h a t
p
1
∘
(
f
1
×
f
2
)
=
f
1
{\displaystyle p_{1}\circ (f_{1}\times f_{2})=f_{1}}
,
p
2
∘
(
f
1
×
f
2
)
=
f
2
{\displaystyle p_{2}\circ (f_{1}\times f_{2})=f_{2}}
と な る も の が 積 の 普 遍 性 か ら 一 意 に 存 在 す る 。 同 様 に 余 積
A
→
ι
1
A
⨿
A
←
ι
2
A
{\displaystyle A{\overset {\iota _{1}}{\rightarrow }}A\amalg A{\overset {\iota _{2}}{\leftarrow }}A}
と 2 つ の 射
g
1
,
g
2
:
A
→
B
{\displaystyle g_{1},g_{2}~:~A\to B}
に 対 し 、 射
g
1
⨿
g
2
:
A
⨿
A
→
B
{\displaystyle g_{1}\amalg g_{2}~:~A\amalg A\to B}
s u c h t h a t
(
g
1
⨿
g
2
)
∘
ι
1
=
g
1
{\displaystyle (g_{1}\amalg g_{2})\circ \iota _{1}=g_{1}}
,
(
g
1
⨿
g
2
)
∘
ι
2
=
g
2
{\displaystyle (g_{1}\amalg g_{2})\circ \iota _{2}=g_{2}}
と な る も の が 余 積 の 普 遍 性 か ら 一 意 に 存 在 す る 。
A 、 B を ア ー ベ ル 圏
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
の 2 つ の 対 象 と す る と 、 自 然 な 写 像
A
⨿
B
→
A
×
B
{\displaystyle A\amalg B\to A\times B}
は 同 等 射 に な る [ 1 9 ] 。 そ こ で こ れ ら 二 つ を 同 一 視 し 、 2 つ の 射
f
,
g
:
A
→
B
{\displaystyle f,g~:~A\to B}
に 対 し 、
f
+
L
g
:=
(
f
⨿
g
)
∘
(
i
d
A
×
i
d
A
)
:
A
→
B
{\displaystyle f+_{L}g:=(f\amalg g)\circ (\mathrm {id} _{A}\times \mathrm {id} _{A})~:~A\to B}
f
+
R
g
:=
(
i
d
A
⨿
i
d
A
)
∘
(
f
×
g
)
:
A
→
B
{\displaystyle f+_{R}g:=(\mathrm {id} _{A}\amalg \mathrm {id} _{A})\circ (f\times g)~:~A\to B}
と す る と [ 注 3 ] 、 以 下 が 成 立 す る ‥
定 理 ― 記 号 を 上 と 同 様 に 取 る と き 、 任 意 の
f
,
g
∈
H
o
m
(
A
,
B
)
{\displaystyle f,g\in \mathrm {Hom} (A,B)}
に 対 し 、
f
+
L
g
=
f
+
R
g
{\displaystyle f+_{L}g=f+_{R}g}
が 成 立 す る [ 1 9 ] 。 そ こ で ﹁
+
L
{\displaystyle +_{L}}
﹂ と ﹁
+
R
{\displaystyle +_{R}}
﹂ を 区 別 せ ず 単 に ﹁
+
{\displaystyle +}
﹂ と 書 く と 、
H
o
m
(
A
,
B
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}
は ﹁
+
{\displaystyle +}
﹂ に 関 し て ア ー ベ ル 群 で あ り [ 1 9 ] 、 し か も ﹁
+
{\displaystyle +}
﹂ は 射 の 結 合 に 関 し て 双 線 形 性 を 満 た す [ 1 9 ] 。
上記の定理からアーベル圏は加法圏である事が従う。
ア ー ベ ル 圏 に は 零 対 象 0 が あ り 、 し か も 像 、 核 、 お よ び 余 核 を 定 義 で き る の で 、 ア ー ベ ル 圏
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上 の チ ェ イ ン 複 体
(
A
i
,
∂
i
)
i
∈
Z
{\displaystyle (A_{i},\partial _{i})_{i\in \mathbb {Z} }}
を
⋯
→
∂
i
+
2
A
i
+
1
→
∂
i
+
1
A
i
→
∂
i
A
i
−
1
→
⋯
{\displaystyle \cdots {\overset {\partial _{i+2}}{\to }}A_{i+1}{\overset {\partial _{i+1}}{\to }}A_{i}{\overset {\partial _{i}}{\to }}A_{i-1}\to \cdots }
s u c h t h a t
∂
i
−
1
∂
i
=
0
{\displaystyle \partial _{i-1}\partial _{i}=0}
f o r
∀
i
{\displaystyle \forall i}
に よ り 定 義 で き 、 さ ら に そ の 完 全 性
I
m
∂
i
+
1
=
ker
∂
i
{\displaystyle \mathrm {Im} \partial _{i+1}=\ker \partial _{i}}
f o r
∀
i
{\displaystyle \forall i}
を 定 義 で き る な ど 、 ホ モ ロ ジ ー 代 数 を 展 開 す る に 十 分 な 性 質 を 満 た し て い る 。
特 に ホ モ ロ ジ ー 代 数 で 必 須 と な る 以 下 の 補 題 は ア ー ベ ル 圏 で も 成 り 立 つ ‥
アーベル圏は具体圏 (英語版 ) とは限らないので、一般的にはアーベル圏の対象A に対して「A の元」という言葉は意味を持たない。しかしアーベル圏が小さい圏 であれば、アーベル圏はR -加群の圏に埋め込むことができ、したがって埋め込み先で「A の元」を考える事ができる[24] :
定理 (ミッチェルの埋め込み定理 ) ― アーベル圏
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
が小さい圏 であれば、ある環R が存在して
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
から左R -加群の圏R -Mod への共変関手
F
:
C
→
R
-
M
o
d
{\displaystyle F~:~{\mathcal {C}}\to R{\text{-}}\mathbf {Mod} }
で充満かつ忠実 でしかも完全(後述)なものが存在する[25] [注 4] 。
ここで「完全」は以下のように定義する:
なお、関手が完全であれば、3項のみならず任意の長さの完全系列に対して同様の事が成り立つ事を容易に示せる。
上記の定理からわかるように、アーベル圏の図式 に関する定理を示したい場合はR -加群に埋め込んだ上でその定理を証明する事ができる[25] 。よってR -加群の図式に対して成り立つ性質、例えば前述の5項補題や蛇の補題は任意のアーベル圏で成立する。
前述のように左R -加群の圏R -Mod はアーベル圏なので、上記の定理から右R -加群の圏Mod -R もアーベル圏である。
アーベル圏上でチェイン複体を定義できる事をすでに見たが、チェイン複体のなす圏はアーベル圏になる:
アーベル圏の双対もアーベル圏になる事から
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上のコチェイン複体 の圏もアーベル圏になる。以上の事からR -加群上のホモロジー やコホモロジー をアーベル圏に一般化できる。
アーベル圏上の前層や層もアーベル圏になるので、層係数のコホモロジー もアーベル圏上で展開できる:
アーベル圏の前層がアーベル圏になるのは下記の事実から従う:
(一) ^ ア ー ベ ル の 名 に ち な む が 、 ﹁ a b e l i a n ﹂ の 語 頭 は 小 文 字 を 用 い る 。 本 項 執 筆 者 が 確 認 し た 範 囲 で は 、 # R o t m a n p . 3 0 3 、 # M i t c h e l l p . 3 3 . # M a c L a n e p . 1 9 8 で 小 文 字 で あ っ た 。
(二) ^ # 河 田 の み 2 番 め の 条 件 が ﹁ 2 つ の 対 象 の 積 ﹂ で は な く 単 に ﹁ 積 ﹂ に な っ て い る が 、 ﹁ 2 つ の 対 象 の 積 ﹂ の 意 味 で あ る と 判 断 。 実 際 そ の 直 後 に 2 つ の 積 が 余 積 や 複 積 と 等 し い こ と を 示 し て い る 。
(三) ^
i
d
A
×
i
d
A
{\displaystyle \mathrm {id} _{A}\times \mathrm {id} _{A}}
は 対 角 射 、
i
d
A
⨿
i
d
A
{\displaystyle \mathrm {id} _{A}\amalg \mathrm {id} _{A}}
は 双 対 対 角 射 で あ る 。
(四) ^ 本 項 で は # M i t c h e l l に 基 づ い て ス テ ー ト メ ン ト を 書 い た が 、 # R o t m a n p . 3 1 6 . で は 本 項 の ﹁ R - M o d ﹂ の 部 分 が ア ー ベ ル 群 の 圏 ﹁ Ab ﹂ に な っ て い る 。 こ れ は R - 加 群 を ア ー ベ ル 群 と 解 釈 で き る 事 に よ る 。
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主要項目
関手
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圏の類
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