和集合の公理

和集合の公理︵わしゅうごうのこうり、英: axiom of union︶とは、ZF公理系を構成する公理の一つで、任意の集合に対し、その要素の要素全体からなる集合の存在を主張するものである。対の公理と合わせることで、任意の二つの集合に対し、それらの要素のみからなる集合︵和集合︶の存在が導ける。

定義

任意の集合xに対しある集合yが存在して、任意の要素zに対し、zがyに含まれるならば、そのときに限りzを含むようなxの要素wが存在する。

すなわち形式的には、

$\forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \exists w\,(z\in w\land w\in x)\,]$$\forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \exists w\,(z\in w\land w\in x)\,]$
と書ける。

性質

公理の意味としては、任意に与えられた集合族の和が再び集合になるということである。 公理により存在を保証される集合yは、外延性より一意に定まり、$\bigcup x$$\bigcup x$ と記される。特にxが二つの元のみからなる集合の場合、すなわち x= {a, b} の場合は、$\bigcup \{a,b\}$$\bigcup \{a,b\}$ と書く代わりに、$a\cup b$$a\cup b$ と書く。

参考文献

• ケネス・キューネン『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、日本評論社、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.