小さい圏の圏
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数学の特に圏論における︵小さい︶圏の圏︵ちいさいけんのけん、英: category of small categories︶Cat は、すべての小さい圏を対象とし、圏の間の函手を射とする圏である。実際には、Cat は自然変換を二次元の射 (2-射) とする二次圏 (2-圏) を成すものと見なせる。
Cat の始対象は対象も射も持たない空圏 0 であり[1]、終対象はただ一つの対象とただ一つの射︵唯一の対象上の恒等射︶のみからなる圏 1︵自明圏あるいは終圏という︶である[2]。
小さい圏の圏 Cat それ自身は大きい圏であり、それゆえ自身を対象として含むことはない。ラッセルの逆理︵の圏版︶を避けるには﹁すべての︵小さいとは限らない︶圏の圏﹂はあってはならないが、﹁すべての圏の擬圏﹂(quasicategory[注釈 1] of categories) CATを考える[注釈 2]ことはできる︵擬圏は大きい圏を対象にできるという意味で圏ではないとすれば、圏の擬圏は自身を対象に含まない︶。
性質[編集]
圏の圏 Cat は、各圏に対してその恒等射と射の合成を忘れることにより、箙の圏 Quiv への忘却函手 U: Cat → Quiv が定義できる。この忘却函手 Uの左随伴 F: Quiv → Cat は各箙にそれが生成する自由圏を対応させる自由函手である。注[編集]
注釈[編集]
出典[編集]
- ^ empty category in nLab
- ^ terminal category in nLab
- ^ 例えば [1]
関連項目[編集]
外部リンク[編集]
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