自由代数
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(自由多元環から転送)
数学、とくに環論という抽象代数学の分野において、自由代数︵じゆうだいすう、英: free algebra︶は多項式環の非可換類似である、なぜならばその元は可換でない変数の﹁多項式﹂として書けるからである。同様に、多項式環は自由可換代数 (free commutative algebra) と見ることができる︵多項式環#多項式環の普遍性参照︶。
定義
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可換環 Rに対し、n 不定元 {X1, ..., Xn} 上の自由︵結合的単位的︶代数とは、アルファベット {X1, ..., Xn} 上のすべての語︵空な語を含み、これは自由代数の単位元である︶からなる基底を持つ自由 R加群である。この R加群は積を以下のように定義して R代数となる‥2つの基底元の積は対応する語の結合
であり、2つの任意の元の積は、これらの積から一意的に決定される︵なぜならば R代数における積は R双線型でなければならないからである︶。この R代数は R⟨X1, ..., Xn⟩ と書かれる。この構成は不定元の任意の集合 Xに容易に一般化できる。つまり、任意の集合 X= { Xi | i∈ I} に対して、X 上の自由︵結合的単位的R-代数は
に語の積が結合となる R-双線型な積が入ったものである、ただし X* は X上の自由モノイド︵すなわちアルファベット Xi上の語すべてからなるモノイド︶を表し、
は外部直和を表し、Rw は1元、語 w上の自由 R加群を表す。
例えば、R⟨X1,X2,X3,X4⟩ において、スカラー α, β, γ, δ ∈ Rに対して、2元の積の具体例は
である。
自由 R-代数 R⟨X⟩ は自由モノイド X* の R上のモノイド環 R[X*] と同一視できる。
多項式との対照
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アルファベット {X1, ..., Xn} 上の語全体は R⟨X1, ..., Xn⟩ の基底をなすから、R⟨X1, ..., Xn⟩ の任意の元が次の形に一意的に書けることは明らかである‥
ただし
は Rの元で、これらの元のうち有限個を除くすべては 0 である。これはなぜ R⟨X1, ..., Xn⟩ の元が﹁変数﹂︵あるいは﹁不定元﹂X1, ..., Xnの﹁非可換多項式﹂としばしば呼ばれるのかを説明する‥元
はこれらの多項式の﹁係数﹂と呼ばれ、R 代数 R⟨X1, ..., Xn⟩ は﹁R 上の n不定元の非可換多項式環﹂と呼ばれる。本当の多項式環とは異なり、変数たちは可換ではないことに注意。例えば X1X2は X2X1と等しくない。
より一般に、任意の生成元の集合 E上の自由代数 R⟨E⟩ を構成することができる。環は Z代数と見なすことができるから、E 上の自由環 (free ring) は自由代数 Z⟨E⟩ として定義できる。
体上では n不定元の自由代数は n次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できる。より一般の係数環に対しては、n 生成元の自由加群を取ることで同じ構成ができる。
E 上の自由代数の構成は本来関手的であり、適切な普遍性を満たす。自由代数関手は R代数の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴である。
可除環上の自由代数は自由イデアル環である。
関連項目
[編集]参考文献
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- Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007
- L.A. Bokut' (2001), “Free associative algebra”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4