iのi乗

数学において、虚数単位 iの i乗︵i の iじょう︶すなわち iⁱとは、ある可算無限個の正の実数である。ネイピア数 eと円周率 π を用いて、

$i^{i}=e^{-(4n+1)\pi /2}$$i^{i}=e^{-(4n+1)\pi /2}$
と書ける︵n は任意の整数︶。n = 0 としたとき、iⁱ は主値

$i^{i}=e^{-\pi /2}={\frac {1}{\sqrt {e^{\pi }}}}=0.20787957\ldots$$i^{i}=e^{-\pi /2}={\frac {1}{\sqrt {e^{\pi }}}}=0.20787957\ldots$
を取る︵オンライン整数列大辞典の数列 A49006︶。

計算の方法

まず iの偏角は︵ラジアンで︶ π/2 + 2nπ︵n は任意の整数︶であることに注意する。

$i^{i}=e^{i\log i}$$i^{i}=e^{i\log i}$
ただし log は複素対数函数︵多価関数︶であり、log i は

$\log i=\ln |i|+i\arg i=\ln 1+i\left({\frac {\pi }{2}}+2n\pi \right)=i\left({\frac {\pi }{2}}+2n\pi \right)$$\log i=\ln |i|+i\arg i=\ln 1+i\left({\frac {\pi }{2}}+2n\pi \right)=i\left({\frac {\pi }{2}}+2n\pi \right)$
そして指数関数 e^xは、冪級数

${\displaystyle e^{x}=\exp($x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots } $e^{x}=\exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$
等により定義され、虚数乗も計算できる。

ここで lnは実数値関数の自然対数であり

$i^{i}=e^{i\cdot i\left(\pi /2+2n\pi \right)}=e^{-\left(\pi /2+2n\pi \right)}=e^{-(4n+1)\pi /2}$$i^{i}=e^{i\cdot i\left(\pi /2+2n\pi \right)}=e^{-\left(\pi /2+2n\pi \right)}=e^{-(4n+1)\pi /2}$
と計算される。n = ... , −2, −1, 0, 1, 2, ...　とおくと

$i^{i}=\ldots ,\,e^{7\pi /2},\,e^{3\pi /2},\,e^{-\pi /2},\,e^{-5\pi /2},\,e^{-9\pi /2},\ldots$$i^{i}=\ldots ,\,e^{7\pi /2},\,e^{3\pi /2},\,e^{-\pi /2},\,e^{-5\pi /2},\,e^{-9\pi /2},\ldots$
となる。主値は冒頭の通り n= 0 のときの e^−π/2 である。

数学的性質

iⁱ の取る値はどれも正の実数であるが、e^{−(π/2 + 2nπ)} の整数 nを適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になり、逆に nを大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になる。したがって iⁱには最大値も最小値も存在しない。

iⁱ の主値 e^−π/2 は

$e^{-\pi /2}=e^{(i/2)\operatorname {Log} (-1)}=(-1)^{i/2}$$e^{-\pi /2}=e^{(i/2)\operatorname {Log} (-1)}=(-1)^{i/2}$
であるから、ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、超越数であるため、無理数である。同様に他の iⁱの値も超越数である。

なお (−i)⁻ⁱ も 

$(-i)^{-i}=e^{-i\log(-i)}=e^{-(\pi /2-2n\pi )}$$(-i)^{-i}=e^{-i\log(-i)}=e^{-(\pi /2-2n\pi )}$
なので、(−i)⁻ⁱ = iⁱである。

テトレーション $i^{i^{.^{.^{i}}}}$$i^{i^{.^{.^{i}}}}$の極限は実数ではない複素数に収束する (Macintyre 1966)。

${\begin{aligned}i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}}&=\lim _{n\to \infty }{i\rightarrow n\rightarrow 2}\\&=\lim _{n\to \infty }{i\uparrow \uparrow n}=\lim _{n\to \infty }{(i\uparrow )^{n}i\uparrow i}\\&=-{\frac {W(-\log i)}{\log i}}={\frac {2i}{\pi }}\,W{\Bigl (}{-{\frac {\pi }{2}}i}{\Bigr )}\\&\approx 0.438283+0.3605924\cdot i.\end{aligned}}$${\begin{aligned}i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}}&=\lim _{n\to \infty }{i\rightarrow n\rightarrow 2}\\&=\lim _{n\to \infty }{i\uparrow \uparrow n}=\lim _{n\to \infty }{(i\uparrow )^{n}i\uparrow i}\\&=-{\frac {W(-\log i)}{\log i}}={\frac {2i}{\pi }}\,W{\Bigl (}{-{\frac {\pi }{2}}i}{\Bigr )}\\&\approx 0.438283+0.3605924\cdot i.\end{aligned}}$
ただし、W はランベルトのW関数である。

関連項目

• 虚数単位
• 指数関数
• 0の0乗

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "i". mathworld.wolfram.com (英語).