K関数

数学において、K関数とは、ハイパー階乗(hyperfactorial)の複素数への一般化である。

定義

形式的には、K関数は

${\displaystyle K($z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right]} $K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right]$
のように定義される。これは、閉じた式としても表せ、

${\displaystyle K($z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]} $K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]$
となる。ここで、ζ'(z)はリーマンゼータ関数の一階導関数、ζ(a,z)はフルヴィッツのゼータ関数で、

$\zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}$$\zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}$
である。また、ポリガンマ関数を用いた別の式もある。

${\displaystyle K($z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)} $K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)$
である。また、Balanced polygamma functionを使って、

${\displaystyle K($z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}} $K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}$
とも書ける。ここでAはグレーシャーの定数である。

K関数はガンマ関数のときと同様に、スターリングの公式の類似公式を持つ。

$K(z+1)=Ae^{-{\frac {z^{2}}{4}}}z^{{\frac {z(z+1)}{2}}+{\frac {1}{12}}}\left(1+{\frac {1}{720z^{2}}}-{\frac {1433}{7257600z^{4}}}+{\frac {1550887}{15676416000z^{6}}}-\cdots \right)$$K(z+1)=Ae^{-{\frac {z^{2}}{4}}}z^{{\frac {z(z+1)}{2}}+{\frac {1}{12}}}\left(1+{\frac {1}{720z^{2}}}-{\frac {1433}{7257600z^{4}}}+{\frac {1550887}{15676416000z^{6}}}-\cdots \right)$
K関数はガンマ関数やバーンズのG関数と密接な関連を持つ。正の実数nに対し、

${\displaystyle K($n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}} $K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}$
のような関連がある。より明確に書けば、

$K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}$$K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}$
が自然数nに対し成り立つということである。より一般に、次のような関数等式を持つ。

${\displaystyle K(x+1)=K($x)x^{x}} $K(x+1)=K(x)x^{x}$
K関数は二重ガンマ関数の特殊な場合として捉えることができる。

${\displaystyle K($x)=\Gamma _{1,1}(x)e^{-\zeta '(-1)}=\Gamma _{2}(x)\Gamma _{1}(x)^{x-1}e^{-\zeta '(-1)}} $K(x)=\Gamma _{1,1}(x)e^{-\zeta '(-1)}=\Gamma _{2}(x)\Gamma _{1}(x)^{x-1}e^{-\zeta '(-1)}$

倍角公式

ガンマ関数の倍角公式の類似として、次の公式が知られている。

${\displaystyle K($Nx)={\biggr (}{\frac {e^{1/12}}{A}}{\biggr )}^{N^{2}-1}\prod _{n=0}^{N-1}K{\Big (}{\frac {n}{N}}+x{\Big )}^{N}\cdot N^{{\frac {1}{12}}+{\frac {N^{2}x^{2}}{2}}-{\frac {Nx}{2}}}} $K(Nx)={\biggr (}{\frac {e^{1/12}}{A}}{\biggr )}^{N^{2}-1}\prod _{n=0}^{N-1}K{\Big (}{\frac {n}{N}}+x{\Big )}^{N}\cdot N^{{\frac {1}{12}}+{\frac {N^{2}x^{2}}{2}}-{\frac {Nx}{2}}}$
ここで、Aはグレイシャー・キンケリンの定数である。

数値

最初の数項の値は、

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A002109).

となる。また、$K({\tfrac {1}{2}})$$K({\tfrac {1}{2}})$は、

$K({\tfrac {1}{2}})={\frac {A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}}$$K({\tfrac {1}{2}})={\frac {A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}}$

のように表せる。ここでAはグレーシャーの定数である。

関係式

K関数とバーンズのG関数との積は次のようにかける。

${\displaystyle K($z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\}.} $K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\}.$
ここで、$z\in \mathbb {C} ,z\notin \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} ,z\neq 0.$$z\in \mathbb {C} ,z\notin \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} ,z\neq 0.$
Benoit Cloitreは2003年、下の式を発表した。 

${\frac {1}{K(n+1)}}=(-1)^{n}\operatorname {det} {\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}&\cdots &{\frac {1}{2^{n}}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}&-{\frac {1}{27}}&\cdots &-{\frac {1}{3^{n}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}}}&\cdots &{\frac {(-1)^{n}}{n^{n}}}\\\end{vmatrix}}$.

参考文献

• Kinkelin, Hermann (1860). “Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung” (ドイツ語). Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (18): 122–138. ISSN 0075-4102. PPN243919689. http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002150824. 

関連項目

• 階乗
• ガンマ関数
• バーンズのG関数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "K-Function". mathworld.wolfram.com (英語).