ブラ-ケット記法

ブラ-ケット記法︵ブラ-ケットきほう、英: bra-ket notation︶またはディラックの記法︵ディラックのきほう、英: Dirac notation︶は、量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。

ブラケット︵bra-ket︶という呼称は、量子状態をブラ︵bra︶ ⟨φ| とケット︵ket︶ |ψ⟩ と呼ばれる2つのベクトルで表すこと、またブラとケットの内積 ⟨φ|ψ⟩ が括弧︵bracket︶を成すことに由来する。

ブラケット記法は1939年のポール・ディラックの論文(Dirac 1939)で提案された。ディラックの教科書 the principles of quantum mechanics では1947年の第3版からブラケット記法を採用している。

ブラ・ケット

ブラ ⟨φ| はケット |ψ⟩ のなすベクトル空間の双対空間の元として定義される。ケットをケットへ写す線型な関数︵線型作用素︶を ${\hat {O}}$${\hat {O}}$で表し、ケットに対する適用を ${\hat {O}}|\psi \rangle$${\hat {O}}|\psi \rangle$と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。

$\{\langle \phi |{\hat {O}}\}|\psi \rangle =\langle \phi |\{{\hat {O}}|\psi \rangle \}$$\{\langle \phi |{\hat {O}}\}|\psi \rangle =\langle \phi |\{{\hat {O}}|\psi \rangle \}$
通常、上記の内積は括弧を外して $\langle \phi |{\hat {O}}|\psi \rangle$$\langle \phi |{\hat {O}}|\psi \rangle$と表される。 また特に任意のケット |ψ⟩ に作用してケット |η⟩⟨ξ|ψ⟩ を与える作用素は |η⟩⟨ξ| と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号で |η⟩⟨ξ| と表される。

性質

ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。

$\langle \psi |^{\dagger }=|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |$$\langle \psi |^{\dagger }=|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |$
また、ある状態 $|\psi \rangle$$|\psi \rangle$において、観測可能量 ${\hat {O}}$${\hat {O}}$の期待値はブラ ⟨ψ| とケット ˆO|ψ⟩ の内積 $\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle$$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle$として表される。

初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある︵行列表示を参照︶。

利点と欠点

この記法の利点として

●基底に依存しない記述が可能

●固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える

●中身の書き方を自由に工夫して記述できる︵パラメータだけを並べて |n, l, m⟩ としたり、|生きている猫⟩ と書くこともできる︶

などがある。

無限次元での取り扱い

ディラックの説明によればケット |ψ⟩ の空間においてブラ ⟨φ| は線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。

正規直交基底とブラケット記法

正規直交基底のうち2つのラベルを α, β として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて

$\langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha ,\beta },$$\langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha ,\beta },$
連続基底ではデルタ関数を用いて

$\langle \alpha |\beta \rangle =\delta (\alpha -\beta )$$\langle \alpha |\beta \rangle =\delta (\alpha -\beta )$
となる。

また正規直交基底の完全性は離散基底について、

$\sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |=1$$\sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |=1$
連続基底について、

$\int \mathrm {d} \alpha ~|\alpha \rangle \langle \alpha |=1$$\int \mathrm {d} \alpha ~|\alpha \rangle \langle \alpha |=1$
と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない﹁固有ベクトル﹂ $|\alpha \rangle$$|\alpha \rangle$があるかのように書いている︵量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照︶。

第二量子化とブラケット記法

第二量子化された粒子生成演算子 a^† を用いて2粒子状態を

$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle$$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle$
と定義する。この時 a^† がフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係 {a †
α , a †
β } = 0 を満たすので、

$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =-a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =-|\beta \alpha \rangle$$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =-a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =-|\beta \alpha \rangle$
となり、反対称化されている。

また a^† がボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係 [a †
α , a †
β ] = 0 を満たすので、

$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =|\beta \alpha \rangle$$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =|\beta \alpha \rangle$
となり、対称化されている。

波動関数との関係

ケット |ψ⟩ と、︵位置表示の︶波動関数 ψ(x) の関係は以下のように表される。

${\displaystyle \psi ($x)=\langle x|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \psi (x)\ |x\rangle } $\psi (x)=\langle x|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \psi (x)\ |x\rangle$
ただし、位置を表す演算子 ${\hat {x}}$${\hat {x}}$の固有値を x、対応する固有ケットを |x⟩ とする‥${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$。

注釈

参考文献

●Dirac, P. A. M. (1939-07). “A new notation for quantum mechanics”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 35 (3): 416–418. doi:10.1017/S0305004100021162. 

●Dirac, P. A. M. (1947). The principles of quantum mechanics (3rd ed.). Oxford University Press 

●Dirac, P. A. M. (1967). The principles of quantum mechanics. The international series of monographs on physics (4th (revised) ed.). Oxford University Press 

●Dirac, P. A. M. 著、朝永振一郎 他 訳﹃量子力学﹄︵原著第4版︶岩波書店、1968年。 

●北野, 正雄﹃量子力学の基礎﹄共立出版、2010年1月23日。ISBN 978-4-320-03462-4。 

●北野, 正雄﹁誤解されているブラケット‥共役演算子をめぐって﹂﹃日本物理学会誌﹄第68巻第4号、日本物理学会、2013年4月5日、239-241頁、CRID 1390282763028514816、doi:10.11316/butsuri.68.4_239、hdl:2433/173934、ISSN 0029-0181。 

●原, 隆 (17 December 2009). "数学者のための量子力学入門" (PDF). www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara. 2023年1月5日閲覧。

関連項目

●量子力学の数学的定式化#ブラベクトルとケットベクトル