十四角形

正十四角形

十四角形︵じゅうよんかくけい、じゅうよんかっけい、tetradecagon︶は、多角形の一つで、14本の辺と14個の頂点を持つ図形である。内角の和は2160°、対角線の本数は77本である。

正十四角形

正十四角形においては、中心角と外角は25.714…°で、内角は154.285…°となる。一辺の長さが aの正十四角形の面積Sは

$S={\frac {14}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{14}}\simeq 15.3345a^{2}$$S={\frac {14}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{14}}\simeq 15.3345a^{2}$
となる。

$\cos(2\pi /14)$$\cos(2\pi /14)$を平方根と立方根で表すと

$\cos {\frac {2\pi }{14}}=\cos {\frac {\pi }{7}}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}\left(-1+3{\sqrt {3}}\cdot i\right)}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}\left(-1-3{\sqrt {3}}\cdot i\right)}}+1\right)={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-1+3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}+{\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-1-3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}+1\right)=0.9009688...$$\cos {\frac {2\pi }{14}}=\cos {\frac {\pi }{7}}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}\left(-1+3{\sqrt {3}}\cdot i\right)}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}\left(-1-3{\sqrt {3}}\cdot i\right)}}+1\right)={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-1+3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}+{\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-1-3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}+1\right)=0.9009688...$
Trigonometric constants expressed in real radicalsより

$\sin {\frac {2\pi }{14}}={\frac {\sqrt {3\left(28-2{\sqrt[{3}]{28-84i{\sqrt {3}}}}-2{\sqrt[{3}]{28+84i{\sqrt {3}}}}\right)}}{12}}$$\sin {\frac {2\pi }{14}}={\frac {\sqrt {3\left(28-2{\sqrt[{3}]{28-84i{\sqrt {3}}}}-2{\sqrt[{3}]{28+84i{\sqrt {3}}}}\right)}}{12}}$
$\cos {\frac {2\pi }{14}}={\frac {\sqrt {3\left(20+2{\sqrt[{3}]{28-84i{\sqrt {3}}}}+2{\sqrt[{3}]{28+84i{\sqrt {3}}}}\right)}}{12}}$$\cos {\frac {2\pi }{14}}={\frac {\sqrt {3\left(20+2{\sqrt[{3}]{28-84i{\sqrt {3}}}}+2{\sqrt[{3}]{28+84i{\sqrt {3}}}}\right)}}{12}}$

正十四角形の作図

正十四角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Tetradecagon". mathworld.wolfram.com (英語).
• algebra precalculus - Roots of $8x^3-4x^2-4x+1$ - Mathematics Stack Exchange