等比数列

等比数列︵とうひすうれつ︶または幾何数列︵きかすうれつ、英: geometric progression, geometric sequence︶は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比︵こうひ、英: common ratio︶という。

例えば初項が 4, 公比が 3の等比数列の最初の数項を列挙すると 4, 12, 36, 108, … となる。ある数列について、隣り合う項の比︵この場合、12/4, 36/12, 108/36, …︶が常に等しいならその数列は等比数列である。

等比数列 {a_n} について、︵定義より公比は 0 でないため︶公比 rは任意の n番目の項とその次の項の比 r= a_n+1/a_n から得られる︵特に r= 1 の場合は公差が 0 の等差数列でもある︶。等比数列の各項は初項 aと公比 rを用いて具体的に以下のように表せる。

$$a,\,ar,\,ar^{2},\,\dots ,\,ar^{n},\,\dots \,.$$

a₀ を初項とすれば、n 番目の項 a_n は以下のように表せる。

$$a_{n}=ar^{n}.$$

これが等比数列の一般項である。

性質

等比数列を漸化式で表すと、

$${\begin{cases}a_{0}&=a\\a_{n+1}&=ra_{n}&(n\geq 0)\end{cases}}$$

となる。

公比 r が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる。r = −|r| と置き換えると、

$$a_{n}=a(-|r|)^{n}=(-1)^{n}a|r|^{n}$$

となり、各項は n が奇数なら初項と異符号になり、偶数なら初項と同符号となる。 公比が負の数列として、例えば　3, −6, 12, −24, …　なる公比 −2 の等比数列を考えると、その一般項は

$$a_{n}=3\cdot (-2)^{n}=(-1)^{n}\,3\cdot 2^{n}$$

となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。

形式的に等比数列の一般項の対数をとると

$$\log a_{n}=\log a+n\log r$$

となり、数列 log a_nは初項 log a 、公差 log r の等差数列になる。

等比数列の連続する3項を小さい順から a, b, cとすると、常に b²= acが成り立つ。

等比数列の和

等比数列の初項から第 n項までの和は以下の式で定義される。

$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+\dotsb +ar^{n}$$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+\dotsb +ar^{n}$
r ≠ 1 の場合、(1 − r) を掛けると、

${\begin{aligned}(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}&=a(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}r^{k}\\&=a(1-r)(1+r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n})\\&=a\left((1+{\bcancel {r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n}}})\right.\\&\left.-({\bcancel {r+r^{2}+\dotsb +r^{n}}}+r^{n+1})\right)\\&=a(1-r^{n+1})\end{aligned}}$${\begin{aligned}(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}&=a(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}r^{k}\\&=a(1-r)(1+r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n})\\&=a\left((1+{\bcancel {r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n}}})\right.\\&\left.-({\bcancel {r+r^{2}+\dotsb +r^{n}}}+r^{n+1})\right)\\&=a(1-r^{n+1})\end{aligned}}$
となるので、等比数列の和は以下のように変形できる。

$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}={\dfrac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.$$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}={\dfrac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.$
ただし、r = 1 の場合は

$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a=(n+1)a$$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a=(n+1)a$
である。第 m項から第 n項までの和は

$\textstyle \sum \limits _{k=m}^{n}ar^{k}=\sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}-\sum \limits _{k=0}^{m-1}ar^{k}={\dfrac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.$$\textstyle \sum \limits _{k=m}^{n}ar^{k}=\sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}-\sum \limits _{k=0}^{m-1}ar^{k}={\dfrac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.$

等比級数

等比数列の級数︵総和︶を等比級数または幾何級数と呼ぶ。例えば初項 a, 公比 rの等比級数は以下のように書ける‥

$$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+\dotsb +ar^{k}+\dotsb {}\,.$$

等比級数は初項が 0 ︵a = 0︶の場合や公比の絶対値が1より小さい︵|r| <1︶場合に収束する。逆に、初項が 0 でなく︵a ≠ 0︶公比の絶対値が1以上︵|r| ≥ 1︶の場合には等比級数は発散する。

無限級数は数列の第 n項までの部分和の極限として定義される。等比級数が収束することは、以下の部分和の極限が収束することから確かめられる。

$${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}&:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}ar^{k}\\&=a\lim _{n\to \infty }{\frac {\;1-r^{n+1}}{1-r\;}}\\&{\overset {|r|<1}{=}}{\frac {a}{1-r}}\end{aligned}}$$

例えば公比 1/2 で初項が 1 の等比級数は 2 に収束する：

$$\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\tfrac {1}{2}}}}=2\,.$$

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ という幾何級数が 2 に収束することを幾何学的に示した図。

関連項目

• 級数
• 数列
• 超幾何級数
• 等差数列
• ねずみ算

外部リンク

• 竹之内脩『等比数列』 - コトバンク
• 世界大百科事典『等比級数』 - コトバンク
• 『等比数列の和の公式（例題・証明・応用）』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series". mathworld.wolfram.com (英語).