1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

最初から6項の和を正方形の分割図として描いたもの

実数直線上の等比数列1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ···

数学において、級数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ··· は、絶対収束する幾何級数の初歩的な例である。

その和は以下のようになる。

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots &=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}\\&={\frac {\dfrac {1}{2}}{1-{\dfrac {1}{2}}}}\\&=1\end{aligned}}$${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots &=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}\\&={\frac {\dfrac {1}{2}}{1-{\dfrac {1}{2}}}}\\&=1\end{aligned}}$

また、2進数では

0.111111…

のように、"0." の後に 1を無数に並べて表すこともできる。

直接証明

他の級数と同様、無限和

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$
は、最初の n項の和

$s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$$s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$
の、n が無限に大きくなるときの極限として定義される。

s_n ︵上式の両辺︶に 2を乗じることにより、有用な関係性がわかる。

$2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}$$2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}$
両辺から s_nを減じると次のような式になる。 

$s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}$$s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}$
よって、$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2^{n}}}=0$$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2^{n}}}=0$ より、$\lim _{n\to \infty }s_{n}=1$$\lim _{n\to \infty }s_{n}=1$

歴史

この級数は、ゼノンのパラドックスの一つの表現として使われた︵二分法の説明に当たる︶。また、ホルスの目は、かつてこの級数の最初の6項を表したものだと考えられていた。

関連項目

• 0.999...
• ゼノンのパラドックス - 二分法の説明として表される数式である。