五角数

はじめの5つの五角数の図示

五角数︵ごかくすう、pentagonal number︶とは、多角数の一種で、正五角形の形に点を図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは 1が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例‥5 (= 1 + 4)、12 (= 1 + 4 + 7)、92 (= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22)

一般項

1		5		12		22

n 番目の五角数を P_nとすると、図より

P₁ = 1 , P_n+1 = P_n+ 3n + 1

が成り立つ。よって五角数は

$P_{n}=P_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(3k+1)={\frac {n(3n-1)}{2}}=n^{2}+T_{n-1}$$P_{n}=P_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(3k+1)={\frac {n(3n-1)}{2}}=n^{2}+T_{n-1}$
で与えられる。(ただし T_nは n番目の三角数)

五角数を小さいものから順に列記すると

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, … ︵オンライン整数列大辞典の数列 A326︶

となる。

性質

●n 番目の五角数は3n − 1 番目の三角数の 1/3 に等しい。また1から n番目までの五角数の相加平均は n番目の三角数に等しい。

●n 番目の五角数は nからの n連続整数和で表せる。例. P₂= 2 + 3 、P₃ = 3 + 4 + 5

●五角数は奇数-奇数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また1と5以外の五角数は全て合成数である。

●五角数はオイラーの五角数定理に現れる数である。

●全ての自然数は高々5つの五角数の和で表すことができる。(→多角数定理)

●五角数の逆数の無限和は
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{12}}+...=3\log {3}-{\frac {{\sqrt {3}}\pi }{3}}=1.4820375...$${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{12}}+...=3\log {3}-{\frac {{\sqrt {3}}\pi }{3}}=1.4820375...$
である。

●五角数が三角数であるものは 1, 210, 40755, 7906276$\cdots$$\cdots$ (オンライン整数列大辞典の数列 A014979)

●五角数がハーシャッド数であるものは 1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715, $\cdots$$\cdots$(オンライン整数列大辞典の数列 A242043)

●五角数が平方数であるものは 0, 1, 9801, 94109401,$\cdots$$\cdots$ (オンライン整数列大辞典の数列 A036353)

脚注

(一)^ SIAM, Sum of the Reciprocals of Polygonal Numbers

関連項目

●図形数

●多角数

●三角数

●平方数︵四角数︶

●オイラーの五角数定理

外部リンク

●Weisstein, Eric W. "Pentagonal Number". mathworld.wolfram.com (英語).