線分

線分の幾何学的な定義

幾何学における線分︵せんぶん、英: Line segment︶とは、2つの点を通る直線の部分であって、それら2点を含んで間に挟まる全ての点からなるものである。

概要

通常は端点も含むものとするが、端点を含まないものも線分として認め、端点を含む狭義の線分を閉線分、含まないものを開線分とすることもある。

線分の例として、三角形や四角形の辺が挙げられる。

もっと一般に、端点がある1つの多角形の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには対角線である。

また、端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。

定義

V を Rまたは C上のベクトル空間とし、L を Vの部分集合とする。L がある適当なベクトル u, v∈ Vを選べば

$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}$$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}$
とパラメータ付けできるとき、L は線分︵閉線分︶であるという。あるいは同じことだが﹁線分は2点の凸包である﹂と定義してもよい。

この時、ベクトル u, u+ vは Lの端点 (end point) と呼ばれる。

線分が﹁開﹂か﹁閉﹂かの区別を要することもある。このとき、閉線分の定義は上述のもの、開線分 Lは u, v∈ Vを選んで

$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}$$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}$
とパラメータ付けできる。片方の端点のみ開いた半開線分は、閉じた方の端点を u∈ V、開いた方を u+ v∈ Vとして

$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1)\}$$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1)\}$
となる。

性質

●線分は連結で空ではない集合である。

●V が位相線型空間の時、閉線分は Vの閉集合である。しかし、開線分が Vの開集合となるのは、V が一次元であるときであり、かつそのときに限る。

●もっと一般に、線分の概念は 順序幾何学 の枠組みで定義することができる。

関連項目

●区間 (数学)

●直線

参考文献

●David Hilbert: The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4︵邦訳﹃幾何学基礎論﹄清水弘文堂書房、1969年。 ︶

外部リンク

• Line Segment at PlanetMath
• Definition of line segment With interactive animation
• Copying a line segment with compass and straightedge
• Dividing a line segment into N equal parts with compass and straightedge Animated demonstration
• 『線分』 - コトバンク

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