複素共役

複素数 z の複素共役 z を取る操作は、複素数平面では実軸対称変換に当たる。

数学において、複素共役︵複素共軛、ふくそきょうやく、英: complex conjugate︶とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作︵写像︶のことである。複素数 zの共役複素数を記号で zで表す

複素数 z= a+ bi︵a, bは実数、i は虚数単位︶の共役複素数 zは

${\overline {z}}=a-b\,i$${\overline {z}}=a-b\,i$
である。極形式表示した複素数 z= r(cos θ + isin θ)︵r ≥ 0, θ は実数︶の共役複素数 zは、偏角を反数にした複素数である‥

${\overline {z}}=r\{\cos(-\theta )+i\sin(-\theta )\}$${\overline {z}}=r\{\cos(-\theta )+i\sin(-\theta )\}$
複素数の共役をとる複素関数 ・ : C→ C ; z↦ zは環同型である。すなわち次が成り立つ。

●z + w= z+ w

●zw= zw

複素共役は実数を変えない‥

●z が実数 ⇔ z= z

逆に、C 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。

複素共役変換は、C の全ての点で複素微分不可能である。

複素共役変換を R上の線型変換と見ると、その表現行列は

${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$
代数方程式について、

﹁実係数多項式 P(x) が虚数根 α をもつならば、α の共役複素数 α も P(x) の虚数根である﹂

すなわち

実係数多項式 P(x) について、P(α) = 0 ⇔ P(α) = 0

が成り立つ︵1746年、ダランベール︶。このことは、複素共役変換は環準同型であることから容易に示せる。

定義と特徴づけ

複素数 z= a+ bi︵a, bは実数、i は虚数単位︶の複素共役とは、

${\overline {z}}=a-b\,i$${\overline {z}}=a-b\,i$
を取る操作のことである。この写像を複素共役変換という。

複素共役変換は環同型写像である。すなわち、複素共役変換 ・ : C→ C ; z↦ zに対して、次が成り立つ。

●・ は全単射

●z + w= z+ w

●zw= zw

さらに、複素共役は実数を保つ‥

●z が実数 ⇔ z= z

逆に、C 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。

「自己同型」も参照

︵証明︶

σ : C→ Cは環準同型写像で、
実数 rに対して σ(r) = r

を満たすとする。
(σ(i))² = σ(i²) = σ(−1) = −1

(σ(i) + i)(σ(i) − i) = 0

∴  σ(i) = ±i

ゆえに、複素数 z= x+ yi︵x, yは実数︶に対して、
σ(z) = σ(x + yi) = σ(x) + σ(y)σ(i) = x+ y σ(i) = x± yi

σ(x + yi) = x+ yiのとき、σ は恒等写像。

σ(x + yi) = x− yiのとき、σ は複素共役変換である。︵証明終︶

性質

計算法則

z, wを複素数とする。以下の性質が成り立つ。

●$z$$z$ が実数 ⇔ ${\overline {z}}=z$${\overline {z}}=z$
●$z$$z$が純虚数 ⇔ ${\overline {z}}=-z\neq 0$${\overline {z}}=-z\neq 0$
●${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$
●${\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}$${\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}$
●${\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$${\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$
●${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}\ (w\neq 0)$${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}\ (w\neq 0)$
●${\overline {z^{n}}}=({\overline {z}})^{n}$${\overline {z^{n}}}=({\overline {z}})^{n}$︵n は整数︶

上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。

●${\overline {\overline {z}}}=z$${\overline {\overline {z}}}=z$︵対合︶

●$|z|=|{\overline {z}}|$$|z|=|{\overline {z}}|$
●$z{\overline {z}}=|z|^{2}$$z{\overline {z}}=|z|^{2}$
●$z+{\overline {z}}=2\,\operatorname {Re} z$$z+{\overline {z}}=2\,\operatorname {Re} z$
●$z-{\overline {z}}=2i\,\operatorname {Im} z$$z-{\overline {z}}=2i\,\operatorname {Im} z$
●${\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\ (z\neq 0)$${\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\ (z\neq 0)$
●逆数は、絶対値と共役で表せる。

複素数の種々の値

複素共役を用いると、複素数の実部・虚部、絶対値・偏角を表すことができる。

●$\operatorname {Re} z={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$$\operatorname {Re} z={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$
●$\operatorname {Im} z={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}$$\operatorname {Im} z={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}$
●$\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$$\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$
●$e^{i\arg z}={\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}$$e^{i\arg z}={\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}$

代数方程式

実係数多項式 f(x) が虚数根 α をもつならば、α の共役複素数 α も f(x) の根である。すなわち、実数係数多項式 f(x) について

$f(\alpha )=0\iff f({\overline {\alpha }})=0$$f(\alpha )=0\iff f({\overline {\alpha }})=0$
が成り立つ︵1746年、ダランベール︶。このことは複素共役が環準同型であることから分かる。

複素解析

複素共役変換 ・ : C→ C ; z↦ zは、C の全ての点で複素微分不可能である。

実軸の開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その解析接続は、共役複素数に対して共役複素数を与える。たとえば複素解析において

${\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp($z)}}} $\exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}$
${\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log($z)}}} $\log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}$︵ただし実軸のある領域上で実数値をとる分枝の、複素共役について対称的な領域への拡張について︶

が成り立つ。

複素数空間

複素線形空間 Cⁿの標準内積 <・|・> : Cⁿ× Cⁿ→ R_≥0 は次の式で定義される‥

${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n}),{\boldsymbol {y}}=(y_{1},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ に対して、

$\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle :=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}$

脚注

出典

参考文献

●黒須康之介﹃複素数﹄培風館︿新数学シリーズ16﹀、1959年4月。ISBN 978-4-563-00316-6。 

●高木貞治﹁第1章 複素数﹂﹃代数学講義﹄︵改訂新版︶共立出版、1965年11月25日。ISBN 978-4-320-01000-0。 

●高木貞治﹃復刻版 近世数学史談・数学雑談﹄共立出版、1996年12月10日。ISBN 978-4-320-01551-7。 

●高橋正明﹃複素数﹄︵改訂版︶科学新興新社︿モノグラフ9﹀、2000年10月21日。ISBN 978-4-89428-166-0。 

●西山清二﹃教科書だけでは足りない大学入試攻略複素数平面﹄河合出版︿河合塾シリーズ﹀、2018年3月。ISBN 978-4-7772-1496-9。 

関連項目

• 共役
• 複素数
• 複素平面
• 虚数

外部リンク

• 『共役複素数』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Complex Conjugates". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Imaginary Numbers". mathworld.wolfram.com (英語).