1+1

1+1︵いちたすいち︶は、加法の数式のひとつである。しばしば、最も単純な計算問題として言及され、様々な比喩に用いられる。計算結果が 2とされる初等的、数学的な意味の他にも、抽象的な意味を持ち得ている。

初等的な意味

一般に加法の最も素朴な意味は﹁合併﹂であり、多くの初学者は 1+1=2 の意味として﹁1つのリンゴと1つのリンゴを合わせると、全部で2つのリンゴになる﹂といった理解の仕方をする。﹁合併﹂と似た意味であるが、初等教育において厳密には区別されるものとして﹁添加﹂がある。例えば、﹁1人の乗客が乗ったバスに、もう1人乗客が乗ってくると、乗客は全員で2人になる﹂といったものであり、この場合 1+1 のふたつの1は区別される。すなわち、+ の前の1は足される数であって最初から乗っていた乗客を表し、+ の後の1は足す数であって後から乗ってきた乗客を表す。

以上の例では、1はものの個数・数量を表す基数であるが、1のような自然数は量を表したり、順序を表す序数である場合がある。1が量を表す例としては﹁1リットルの水と1リットルの水を合わせると2リットルの水になる﹂といったMKS単位系などで表現されるものがあり、順序を表す例としては﹁徒競走で1番の人の1番後の人は2番である﹂などがある。このように、初等教育の範囲内においてさえ、1+1 は様々な意味を持つ抽象的な概念である。

ペアノ算術による証明

初等教育では 1+1=2 は自明のこととして扱われるが、公理から出発して証明された命題のみを真実として認める、というエウクレイデス以来の哲学からすると、1+1=2 の論理的な位置付けを明らかにすることが望まれる。数学基礎論が整備されつつあった時代に、ホワイトヘッドとラッセルは、数学の基礎的な部分を完全に形式的に展開することを目標として﹃プリンキピア・マテマティカ﹄を著した。この書物では、記号論理学的な準備に数百項が費やされており、実際に十進法の演算が定義されて 1+1=2 が証明されるまで700ページあまりを必要としている。

﹃プリンキピア・マテマティカ﹄は、先駆的な仕事であったものの、現代的には批判もあり、自然数の定義として通常採用されるのはペアノの公理である。それによると、自然数の間に﹁後者関数﹂と呼ばれる関数 suc(a) が与えられ、︵自然数に 0 を含める場合︶0 の﹁後者﹂suc(0) が1、その﹁後者﹂suc(1)が2と定義される。

一方、加法+はペアノ算術の公理によれば n+ 0 = nおよび n+ suc(m) = suc(n + m) によって再帰的に定義される2変数関数+のことである。

これらの準備のもと、等号公理により 1 + 1 = 1 + suc(0) = suc(1 + 0) = suc(1) = 2 となる。これが1+1=2の厳密な証明である。

抽象代数

環などの抽象代数においては、1は乗法における単位元を意味し、加法は個数の合併という意味を離れた抽象的な二項演算である。

例えば、2元体 F₂は、乗法の単位元1と加法の単位元 0 のみを元にもち、この世界においては 1+1=0 である。F₂ を Z/2Z︵整数全体の集合 Zを、2を法とする合同関係で類別した同値類の集合︶と見なせば、1は奇数、0 は偶数を表し、1+1=0 は﹁奇数と奇数の和は偶数﹂であることを表していると見なせる。もしくは、F₂ における加法は、1を真、0 を偽とした排他的論理和を意味していると見なすこともできる。この演算は、暗号理論、符号理論やニムの必勝法などに応用がある。

数学を離れた転用の例

日常的に使われる比喩として、﹁一足す一が二にならない﹂という表現で、机上の論理が必ずしも現実に役に立たないことや、理性より感情や直感を重んじるべき場面であることを表す。他に、理不尽である、神秘的である、といったニュアンスも持つ。また、﹁一足す一が三になる﹂︵もしくは﹁三以上になる﹂︶という表現で、相乗効果があることを意味する場合がある。他にも﹁単純﹂や﹁明解﹂であることを﹁一足す一が二になるように﹂という表現で使う。類例として、2 + 2 = 5がある。

参考文献

• 遠山啓編『現代数学教育事典』明治図書出版、1965年 ISBN 978-4-18-500114-4
• A. N. Whitehead, B. Russel; Principia Mathematica, 3 Vols, Cambridge University Press, 2nd ed, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3)