2の立方根

2の立方根︵にのりっぽうこん︶は、立方︵3乗︶して

2

になる数である。すなわち、

r^{3}=r\times r\times r=2

r^{3}=r\times r\times r=2

を満たす数

r

のことである。2の立方根に関する作図問題としては、立方体倍積問題が古代から知られている。

概要[編集]

2の立方根は複素数の範囲に3つあり、そのうち1つは実数である。実数の立方根を

{\sqrt[{3}]{2}}

{\sqrt[{3}]{2}}

と書き、虚数の立方根は

{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}

{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}

,

{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}

{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}

と書き表すことができる。

{\sqrt[{3}]{2}}

{\sqrt[{3}]{2}}

が無理数であることは、2の平方根の場合と同様、有理根定理、背理法︵無限降下法︶、または素因数分解の一意性を利用して証明することができる。オンライン整数列大辞典では

{\sqrt[{3}]{2}}

{\sqrt[{3}]{2}}

の十進記数法における小数点以下 107 桁まで表示されている^[1^]。

{\sqrt[{3}]{2}}=

{\sqrt[{3}]{2}}=

1.2599210498 9487316476 7210607278 2283505702 5146470150 … この数の並びには無限回の循環はない。このことは、

{\sqrt[{3}]{2}}

{\sqrt[{3}]{2}}

が無理数であることによる^[注釈 1]。

●

{\sqrt[{3}]{2}}

{\sqrt[{3}]{2}}

r 3 - 2 = 0

の根の1つであるから、代数的数である。 ●

{\sqrt[{3}]{2}}

{\sqrt[{3}]{2}}

は定規とコンパスによる作図で示すことが不可能な数である。この事実は、1837年に、ピエール・ヴァンツェルにより証明された。 ●

{\sqrt[{3}]{2}}

{\sqrt[{3}]{2}}

{\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}

{\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}

となる。これはしばしば

[1; 3, 1, 5, 1, 1, 4,

. . .]

と表記される。連分数展開を途中で打ち切ることで、

{\sqrt[{3}]{2}}

{\sqrt[{3}]{2}}

の近似値を計算することができる。