四角形
四角形︵しかくけい、しかっけい、英: quadrilateral, tetragon︶は、平面上で4本の直線に囲まれた平面の一部を指す。多角形の一種で、4つの頂点と4本の辺を持つ。
四角形の分類階層図
四角形に関する用語
●対辺‥繋がっていない︵頂点を共有しない︶辺のこと。四角形は2組の対辺を持つ︵向かい合う辺︶。 ●対頂点‥辺を共有しない二頂点。四角形は2組の対頂点を持つ。 ●対角‥対頂点における内角。四角形は2組の対角を持つ︵向かい合う角︶。 ●対角線‥対頂点を結ぶ線分。四角形は2本の対角線を持つ。四角形の分類
●台形︵米:trapezoid、英:trapezium︶‥少なくとも一組の対辺が平行であるような四角形。平行な対辺の組を底辺と呼び、残りの対辺の組を脚と呼ぶ。 ●等脚台形︵isosceles trapezium︶‥台形のうち、1つの底辺をはさむ2角の大きさが等しいもの。 (一)底辺の中点を結ぶ直線が線対称の軸となり、2本の脚の長さが等しくなる。 (二)2本の対角線は、長さが等しい。円に内接する。 ●凧形︵kite︶‥それぞれ長さの等しい2辺によってはさまれた対角を持つ四角形。 (一)対角線の1つが線対称の軸となり、残り一組の対角は等しい大きさを持つ。 (二)2本の対角線は、互いに直交する。 (三)円に外接する。 ●長方形︵矩形、rectangle︶‥4角の大きさが全て等しい四角形。 (一)1つの内角の大きさは、直角︵90°︵π/2 ラジアン︶に等しい。 (二)4頂点は、対角線の交点から等距離にある︵円に内接する︶。 (三)平行四辺形の特別な形であるので、平行四辺形の性質を全て持つ。 (四)等脚台形の特別な形であるので、等脚台形の性質を全て持つ。 ●菱形︵斜方形、rhombus︶‥4辺の長さが全て等しい四角形。 (一)1辺の長さは、周の4分の1に等しい。 (二)4辺は、対角線の交点から等距離にある︵円に外接する︶。 (三)平行四辺形の特別な形であるので、平行四辺形の性質を全て持つ。 (四)凧形の特別な形であるので、凧形の性質を全て持つ。 ●正方形︵スクエア、square︶‥4辺の長さが全て等しく、4角の大きさが全て等しい四角形。 (一)対角線の長さは等しく、直角に交わる。 (二)正多角形の一種であり、正多角形の性質を全て持つ。 (三)長方形の特別な形であるので、長方形の性質を全て持つ。 (四)菱形の特別な形であるので、菱形の性質を全て持つ。 ●平行四辺形︵parallelogram︶‥2組の対辺がそれぞれ平行である四角形。 (一)対辺は︵2組あるが、それぞれ︶長さが等しくなっている。 (二)対角は︵2組あるが、それぞれ︶大きさが等しくなっている。 (三)対角線は︵2本あるが、そのどちらも︶他の対角線の中点を通る。対角線は、互いの長さを2等分する。 ●凹四角形‥1内角の大きさが180°︵π ラジアン︶ を超えるような頂点を持つ四角形。対角線が四角形の内部で交点を持たない、外角が定義できないなどの不都合があるため、日本の初等中等教育では、四角形の分類に含めないことがある。 ●円に外接する四角形‥内接円を持つ四角形。2組の対辺の和が等しい。 ●円に内接する四角形‥外接円を持つ四角形。2組の対角の和はそれぞれ 180°︵π ラジアン︶に等しい。4つの内角の大きさが、その対角の外角に等しい。 ●双心四角形‥内接円と外接円を持つ四角形。
合同条件
二つの四角形を、それぞれその対角線の一つで分割したとき、分割された図形は三角形になる。この三角形が合同である組が存在して、対角線となる辺の位置も一致しているとき、二つの四角形は合同になる。相似条件
面積の公式
| 正方形 | [一辺]2 |
| 長方形 | [縦]×[横] |
| 菱形・凧形・直交対角線四角形 | [対角線]×[もう一つの対角線]÷2 |
| 平行四辺形 | [底辺]×[高さ] |
| 台形 | ([上底]+[下底])×[高さ]÷2 |
| 円に内接する四角形 | ブラーマグプタの公式 |
| 一般の四角形 | ブレートシュナイダーの公式 |
