カ ル タ ン 幾 何 学 [ 注 1 ] ︵ か る た ん き か が く ︶ ︵ 英 : C a r t a n g e o m e t r y ︶ と は 、 微 分 幾 何 学 に お け る 概 念 で 、 多 様 体 の 各 点 に お け る ﹁ 一 次 近 似 ﹂ が ク ラ イ ン の 幾 何 学 と み な せ る も の の 事 で あ る 。 カ ル タ ン の 幾 何 学 は ク ラ イ ン の 幾 何 学 と リ ー マ ン 幾 何 学 を 包 括 す る 幾 何 学 概 念 と し て 提 案 さ れ た 。
以 下 、 本 項 で は 特 に 断 り が な い 限 り 、 単 に 多 様 体 、 関 数 、 バ ン ド ル 等 と い っ た 場 合 は C ∞ 級 の も の を 考 え る 。 ま た 特 に 断 り が な い 限 り ベ ク ト ル 空 間 は 実 数 体 上 の も の を 考 え る 。
カ ル タ ン 幾 何 学 の 背 景 に あ る の は ク ラ イ ン の エ ル ラ ン ゲ ン ・ プ ロ グ ラ ム で あ る 。 エ ル ラ ン ゲ ン ・ プ ロ グ ラ ム は 、 当 時 ﹁ 幾 何 学 ﹂ 、 例 え ば ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 、 双 曲 幾 何 学 、 球 面 幾 何 学 、 射 影 幾 何 学 等 が 乱 立 し て い た 状 況 に 対 し 、 そ れ ら を 統 一 す る 手 法 を 提 案 し た も の で あ り 、 今 日 の 言 葉 で 言 え ば 、 こ れ ら は い ず れ も 等 質 空 間 の 概 念 を 使 う 事 で 統 一 的 に 記 述 で き る 事 を 示 し た 。
す な わ ち ク ラ イ ン の 意 味 で の 幾 何 学 ︵ 以 下 単 に ク ラ イ ン 幾 何 学 と 呼 ぶ ︶ と は 、 リ ー 群 G と そ の 閉 部 分 リ ー 群 H の 組
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を 等 質 空 間
M
=
G
/
H
{\displaystyle M=G/H}
上 に ﹁ 幾 何 学 を 保 つ ﹂ 変 換 群 G が 作 用 し て お り 、 X 上 の 一 点 の 等 方 部 分 群 が H で あ る と み な し た も の で あ る 。
し か し エ ル ラ ン ゲ ン ・ プ ロ グ ラ ム に は 、 当 時 す で に 知 ら れ て い た リ ー マ ン 幾 何 学 が 記 述 で き な い 、 と い う 限 界 が あ っ た 。 実 際 リ ー マ ン 多 様 体 は 等 質 空 間 に は な っ て い な い の で 、 エ ル ラ ン ゲ ン ・ プ ロ グ ラ ム で は 記 述 で き な い 。
カ ル タ ン の 意 味 で の 幾 何 学 ︵ 以 下 単 に カ ル タ ン 幾 何 学 と 呼 ぶ ︶ は 上 記 の 事 情 を 背 景 に 、 ク ラ イ ン の 幾 何 学 と リ ー マ ン 幾 何 学 を 包 含 す る 形 で 定 義 さ れ た 幾 何 学 概 念 で あ る [ 1 ] ‥
多 様 体 自 身 に ク ラ イ ン 幾 何 学 の 構 造 が 入 れ ば 、 す な わ ち
M
=
G
/
H
{\displaystyle M=G/H}
で あ れ ば 、 M の 各 点 の 接 ベ ク ト ル 空 間 は 自 然 に
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
と 同 型 に な る 。 こ こ で
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
、
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
は そ れ ぞ れ G 、 H の リ ー 代 数 で あ る 。
そ こ で ち ょ う ど リ ー マ ン 幾 何 学 の ﹁ 一 次 近 似 ﹂ で あ る 接 ベ ク ト ル 空 間 が ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 に な っ て い る よ う に 、 カ ル タ ン 幾 何 学 で は 、 多 様 体 M の ﹁ 一 次 近 似 ﹂ で あ る 接 ベ ク ト ル 空 間 に 、 ク ラ イ ン 幾 何 学
G
/
H
{\displaystyle G/H}
の ﹁ 一 次 近 似 ﹂ で あ る
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
を 対 応 さ せ る 。 こ の と き 、 多 様 体 M に は 等 質 空 間
G
/
H
{\displaystyle G/H}
を モ デ ル 空 間 と す る カ ル タ ン の 幾 何 学 の 構 造 が 入 っ て い る 、 と い う 。
し か し あ く ま で ﹁ 一 次 近 似 ﹂ が ク ラ イ ン の 幾 何 学 と 等 し い だ け な の で 、 実 際 に は カ ル タ ン 幾 何 学 は ク ラ イ ン 幾 何 学 と は ズ レ る 。 こ の ズ レ を 図 る の が の 曲 率 で あ る 。
滑 り と ね じ れ の な い 転 が し
カ ル タ ン 幾 何 学 を 導 入 す る も う 一 つ の 動 機 が 滑 り と ね じ れ の な い 転 が し で あ る 。 こ れ は m 次 元 の リ ー マ ン 多 様 体 を m 次 元 平 面 上 ﹁ 滑 っ た り ﹂ 、 ﹁ 捻 れ た り ﹂ す る 事 な く ﹁ 転 が し た ﹂ と き に で き る 軌 跡 に 関 す る 研 究 で あ る 。
こ の 軌 跡 は ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 を モ デ ル に す る カ ル タ ン 幾 何 学 を 使 う こ と で 定 式 化 が 可 能 で あ り 、 曲 線 の 発 展 と い う 。 ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 は m 次 元 平 面 上 の 幾 何 学 で あ る の で 、 m 次 元 平 面 上 の 軌 跡 に な る が 、 一 般 の ク ラ イ ン 幾 何 学
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を モ デ ル と す る カ ル タ ン 幾 何 学 の 発 展 は 、
M
=
G
/
H
{\displaystyle M=G/H}
上 の 軌 跡 と な る 。
定 義 の 背 後 に あ る 直 観 [ 編 集 ]
本 節 で は [ 2 ] を 参 考 に 、 2 次 元 ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 を モ デ ル と す る カ ル タ ン 幾 何 学 を 直 観 的 に 説 明 す る 。
E
2
{\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}
を 2 次 元 ユ ー ク リ ッ ド 空 間 と し 、
I
s
o
(
E
2
)
{\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})}
を
E
2
{\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}
の 合 同 変 換 群 と す る 。 す な わ ち
I
s
o
(
E
2
)
{\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})}
は
A
∈
O
(
2
)
{\displaystyle A\in O(2 )}
と
b
∈
R
2
{\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{2}}
を 使 っ て
x
↦
A
x
+
b
{\displaystyle x\mapsto Ax+b}
と 書 け る 変 換 全 体 の 集 合 で あ る 。
E
2
{\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}
は
I
s
o
(
E
2
)
/
O
(
2
)
{\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})/O(2 )}
と 同 一 視 で き る 。
M を 2 次 元 多 様 体 と し 、 M 上 に 人 が 一 人 立 っ て い る と す る 。 人 が 立 っ て い る 場 所 を
u
∈
M
{\displaystyle u\in M}
と し 、 人 の 前 方 向 を x 軸 、 左 方 向 を y 軸 と す る と 、 接 ベ ク ト ル 空 間 の 基 底
e
x
,
e
y
∈
T
u
M
{\displaystyle e_{x},e_{y}\in T_{u}M}
が 定 義 で き る 。 M は ユ ー ク リ ッ ド 空 間 を モ デ ル に し て い る の で 、 そ の 人 は 自 分 の 近 傍 を ユ ー ク リ ッ ド 空 間 だ と 思 っ て い る 。
T
u
M
{\displaystyle T_{u}M}
の 正 規 直 交 基 底 全 体 の 集 合 を
F
u
(
M
)
{\displaystyle F_{u}(M )}
と し 、
F
(
M
)
=
∪
u
∈
M
F
u
(
M
)
{\displaystyle F(M )=\cup _{u\in M}F_{u}(M )}
と す る と 、
F
(
M
)
{\displaystyle F(M )}
は 自 然 に M 上 の
O
(
2
)
{\displaystyle O(2 )}
- 主 バ ン ド ル と み な せ る 。 以 上 の 議 論 か ら 、
F
(
M
)
{\displaystyle F(M )}
の 元 は 、 M 上 に い る 人 ︵ と そ の 向 き ︶ で あ る と み な せ る [ 注 2 ] 。
M 上 に い る 人 を
(
e
x
,
e
y
)
∈
F
u
(
M
)
{\displaystyle (e_{x},e_{y})\in F_{u}(M )}
と 表 す と き 、 そ の 人 が M 上 の 位 置 ︵ = u ︶ を 変 え ず に 向 き だ け を ﹁ 無 限 小 だ け ﹂ 変 え た 場 合 、 そ の 向 き の 変 化 を 表 す 速 度 ベ ク ト ル は
T
F
u
(
M
)
{\displaystyle TF_{u}(M )}
の 元 と み な せ る が 、 こ れ は 人 の 向 き を 変 え た 回 転 変 換 の 微 分 な の で 、 回 転 変 換 群
O
(
2
)
{\displaystyle O(2 )}
の 無 限 小 変 換 群 ︵ =
O
(
2
)
{\displaystyle O(2 )}
に 対 応 す る リ ー 代 数 ︶ で あ る
o
(
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2 )}
の 元 で あ る と も み な せ る 。
す な わ ち 、
T
F
u
(
M
)
{\displaystyle TF_{u}(M )}
の 元 を
o
(
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2 )}
の 元 と 対 応 さ せ る 事 が で き る ‥
T
F
u
(
M
)
→
o
(
2
)
{\displaystyle TF_{u}(M )\to {\mathfrak {o}}(2 )}
ま た 人 が M 上 の 位 置 u か ら 無 限 小 だ け 歩 い た 場 合 は 、 歩 い た こ と に よ る
(
e
x
,
e
y
)
∈
F
u
(
M
)
{\displaystyle (e_{x},e_{y})\in F_{u}(M )}
の 変 化 の 速 度 ベ ク ト ル は
T
u
F
(
M
)
{\displaystyle T_{u}F(M )}
の 元 と み な せ る が 、 そ の 人 は 自 分 が ユ ー ク リ ッ ド 空 間 を 歩 い て い る の だ と 理 解 し て い る の で 、 速 度 ベ ク ト ル を
I
s
o
(
E
2
)
{\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})}
の 無 限 小 変 換 群 ︵ =
I
s
o
(
E
2
)
{\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})}
の リ ー 代 数 ︶ で あ る
i
s
o
(
E
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})}
の 元 で あ る と み な す 。 す な わ ち
T
u
F
(
M
)
{\displaystyle T_{u}F(M )}
の 元 を
i
s
o
(
E
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})}
と 対 応 付 け て 考 え る 。
結 局 、 ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 を モ デ ル と す る カ ル タ ン 幾 何 学 と は 、 M 上 の
O
(
2
)
{\displaystyle O(2 )}
- 主 バ ン ド ル
F
(
M
)
{\displaystyle F(M )}
で 、 フ ァ イ バ ー ご と の 線 形 写 像
ω
:
T
F
(
M
)
→
i
s
o
(
E
2
)
{\displaystyle \omega ~:~TF(M )\to {\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})}
を 持 ち 、 各
u
∈
M
{\displaystyle u\in M}
に 対 し 、 u の フ ァ イ バ ー
F
u
(
M
)
{\displaystyle F_{u}(M )}
の 接 バ ン ド ル
T
F
u
(
M
)
{\displaystyle TF_{u}(M )}
へ の ω の 制 限 が
ω
(
T
F
u
(
M
)
)
∈
o
(
2
)
{\displaystyle \omega (TF_{u}(M ))\in {\mathfrak {o}}(2 )}
を 満 た す も の で ﹁ 性 質 の 良 い も の ﹂ ︵ 後 述 ︶ で あ る 。
本 節 で は カ ル タ ン 幾 何 学 の 定 式 化 に 必 要 と な る 用 語 を 定 義 す る 。
基 本 ベ ク ト ル 場 [ 編 集 ]
G を リ ー 群 と し 、
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
を そ の リ ー 代 数 と し 、 さ ら に N を G が 右 か ら 作 用 す る 多 様 体 ︵ 例 え ば G - 主 バ ン ド ル
π
:
P
→
M
{\displaystyle \pi ~:~P\to M}
の 全 空 間 P ︶ と す る 。
定 義 ( 基 本 ベ ク ト ル 場 ) ― リ ー 代 数 の 元
A
∈
g
{\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}}
と 点
p
∈
N
{\displaystyle p\in N}
に 対 し 、
A
_
p
:=
d
d
t
(
p
⋅
e
x
p
(
t
A
)
)
|
t
=
0
∈
T
p
N
{\displaystyle {\underline {A}}_{p}:=\left.{\frac {d}{dt}}(p\cdot \mathrm {exp} (tA ))\right|_{t=0}\in T_{p}N}
に よ り 、 N 上 の ベ ク ト ル 場
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
を 定 義 す る 。
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
を A に 対 応 す る N の 基 本 ベ ク ト ル 場 ︵ 英 語 版 ︶ ︵ 英 : f u n d a m e n t a l v e c t o r f i e l d o n N a s s o c i a t e d t o A ︶ と い う [ 3 ] [ 4 ] 。
なお、N がG -主バンドル
π
:
P
→
M
{\displaystyle \pi ~:~P\to M}
の全空間P の場合には
A
_
p
{\displaystyle {\underline {A}}_{p}}
は垂直部分空間
V
p
{\displaystyle {\mathcal {V}}_{p}}
の元である事が容易に示せる。
随伴表現 [ 編集 ]
定 義 ( リ ー 群 の 随 伴 表 現 ) ― G を リ ー 群 と し
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
を そ の リ ー 代 数 と す る 。 こ の と き 、 G の 線 形 表 現
A
d
:
G
→
G
L
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} ~:~G\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}
を
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
に 対 し 、
A
d
(
g
)
:
d
h
d
t
(
0
)
∈
g
↦
d
d
t
g
h
(
t
)
g
−
1
|
t
=
0
∈
g
{\displaystyle \mathrm {Ad} (g )~:~{\tfrac {dh}{dt}}(0)\in {\mathfrak {g}}\mapsto \left.{\tfrac {d}{dt}}gh(t )g^{-1}\right|_{t=0}\in {\mathfrak {g}}}
に よ り 定 義 し 、 Ad を G の 随 伴 表 現 ︵ 英 : a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n ︶ と い う [ 5 ] 。
こ こ で
G
L
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}
は
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
上 の 線 形 同 型 全 体 の な す リ ー 群 で あ る 。 随 伴 表 現 の 定 義 は
h
(
t
)
{\displaystyle h(t )}
の 取 り 方 に よ ら ず w e l l - d e f n i n e d で あ る 。
モ ー レ ー ・ カ ル タ ン 形 式 [ 編 集 ]
ク ラ イ ン 幾 何 学 の 構 造 を 調 べ る 準 備 と し て モ ー レ ー ・ カ ル タ ン 形 式 を 導 入 す る 。
定 義 ( モ ー レ ー ・ カ ル タ ン 形 式 ) ― G を リ ー 群 と し 、
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
を そ の リ ー 代 数 と す る と き 、 G の 各 点 g に 対 し G 上 の
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
値 1 - 形 式
ω
G
g
{\displaystyle \omega ^{G}{}_{g}}
を
ω
G
g
:
v
∈
T
g
G
↦
L
g
−
1
∗
(
v
)
∈
g
{\displaystyle \omega ^{G}{}_{g}~:v\in ~T_{g}G\mapsto L_{g^{-1}}{}_{*}(v )\in {\mathfrak {g}}}
に よ り 定 義 し 、 ω G g を G の g に お け る モ ー レ ー ・ カ ル タ ン 形 式 と い う [ 6 ] [ 注 3 ] 。
こ こ で
L
g
−
1
∗
{\displaystyle L_{g^{-1}}{}_{*}}
は 群 の 左 作 用
L
g
−
1
:
h
∈
G
↦
g
−
1
h
{\displaystyle L_{g^{-1}}~:~h\in G~~\mapsto g^{-1}h}
が 誘 導 す る 写 像 で あ る 。
モーレー・カルタン形式は以下を満たす[6] :
定理 ―
(
R
g
)
∗
ω
G
=
A
d
(
g
−
1
)
ω
G
{\displaystyle (R_{g})^{*}\omega ^{G}=\mathrm {Ad} (g^{-1})\omega ^{G}}
d
ω
G
+
1
2
[
ω
G
,
ω
G
]
=
0
{\displaystyle d\omega ^{G}+{1 \over 2}[\omega ^{G},\omega ^{G}]=0}
こ こ で
[
⋅
,
⋅
]
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}
は
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
上 の リ ー 括 弧 で あ り 、
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
- 値 1 - 形 式 α 、 β に 対 し 、
[
α
,
β
]
(
X
,
Y
)
:=
[
α
(
X
)
,
β
(
Y
)
]
−
[
α
(
Y
)
,
β
(
X
)
]
{\displaystyle [\alpha ,\beta ](X,Y):=[\alpha (X ),\beta (Y )]-[\alpha (Y ),\beta (X )]}
で あ る 。
上 記 の 2 式 の う ち 下 の も の を モ ー レ ー ・ カ ル タ ン の 方 程 式 [ 7 ] ︵ 英 : M a u r e r - C a r t a n e q u a t i o n ︶ 、 も し く は リ ー 群 G の 構 造 方 程 式 [ 8 ] ︵ 英 : s t r u c t u r e e q u a t i o n ︶ と い う 。
定 義 と 基 本 概 念 [ 編 集 ]
リ ー 群 G と そ の 閉 部 分 リ ー 群 の 組
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
で
G
/
H
{\displaystyle G/H}
が 連 結 に な る も の を ク ラ イ ン 幾 何 学 、 も し く は ︵ カ ル タ ン 幾 何 学 の モ デ ル に な る の で ︶ モ デ ル 幾 何 学 ︵ 英 : m o d e l g e o m e t r y ︶ と い う [ 9 ] [ 1 0 ] 。
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を モ デ ル 幾 何 学 と し 、
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
、
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
を そ れ ぞ れ G 、 H の リ ー 代 数 と す る 。
定 義 ( ク ラ イ ン 幾 何 学 に よ る カ ル タ ン 幾 何 学 の 定 義 ) ―
多 様 体 M 上 の タ イ プ
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
の カ ル タ ン 幾 何 学 ︵ 英 : C a r t a n g e o m e r t y o f t y p e
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
o v e r M ︶ と は 、 M 上 の H - 主 バ ン ド ル
π
:
P
→
M
{\displaystyle \pi ~:~P\to M}
と P 上 の
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
- 値 1 - 形 式
ω
:
T
P
→
g
{\displaystyle \omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}}
の 組
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
で 以 下 の 性 質 を 満 た す も の の 事 で あ る [ 1 1 ] [ 1 2 ] [ 1 3 ] ‥
(一) 任 意 の
p
∈
P
{\displaystyle p\in P}
に 対 し 、
ω
:
T
p
P
→
∼
g
{\displaystyle \omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}}
は 同 型 写 像 で あ る 。
(二) 任 意 の
A
∈
h
{\displaystyle A\in {\mathfrak {h}}}
に 対 し 、
ω
(
A
_
)
=
A
{\displaystyle \omega ({\underline {A}})=A}
(三) 任 意 の
h
∈
H
{\displaystyle h\in H}
に 対 し 、
R
h
∗
ω
=
A
d
(
h
−
1
)
ω
{\displaystyle R_{h}{}^{*}\omega =\mathrm {Ad} (h^{-1})\omega }
ω を H - 主 バ ン ド ル
π
:
P
→
M
{\displaystyle \pi ~:~P\to M}
の カ ル タ ン 接 続 ︵ 英 : C a r t a n c o n n e c t i o n ︶ と い う 。 ま た 紛 れ が な け れ ば M の 事 を カ ル タ ン 幾 何 学 と い う [ 1 2 ] 。
3 つ の 条 件 の 直 観 的 な 意 味 を 説 明 す る 。
● 1 つ 目 の 条 件 は 、
T
p
P
{\displaystyle T_{p}P}
と
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
が 同 一 視 で き る 事 を 意 味 し て お り 、 前 述 し た 直 観 的 説 明 の よ う に 、 モ デ ル が ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 で あ れ ば 、 M に い る 人 は 、 自 分 の 近 傍 が ユ ー ク リ ッ ド 空 間 で あ る と み な し て い る の で 、 人 の 動 き の 速 度 ベ ク ト ル の 集 合
T
p
P
{\displaystyle T_{p}P}
が 、 無 限 小 変 換 全 体
g
=
i
s
o
(
E
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})}
で 記 述 可 能 で あ る 事 を 要 請 す る の は 自 然 で あ る 。
● 2 つ 目 の 条 件 は 、 各
u
∈
M
{\displaystyle u\in M}
に 対 し 、 ω が 同 型 写 像
A
∈
h
↦
A
_
∈
T
p
P
p
{\displaystyle A\in {\mathfrak {h}}\mapsto {\underline {A}}\in T_{p}P_{p}}
の 逆 写 像 で あ る 事 を 要 請 し て い る 。
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
は
A
∈
h
{\displaystyle A\in {\mathfrak {h}}}
が
P
p
{\displaystyle P_{p}}
に 定 め る 無 限 小 変 換 な の で 、 前 述 し た 直 観 的 説 明 か ら こ れ は 自 然 な 要 請 で あ る 。 な お 、 こ の 2 つ 目 の 条 件 か ら 特 に 直 観 的 説 明 の と こ ろ で 登 場 し た 以 下 の 要 件 が 従 う ‥
ω
(
T
P
u
)
∈
h
{\displaystyle \omega (TP_{u})\in {\mathfrak {h}}}
● 3 つ 目 の 条 件 は 、 前 述 し た 直 観 的 説 明 か ら
u
∈
M
{\displaystyle u\in M}
に い る 人 は 自 分 の 近 傍 が モ デ ル 幾 何 学
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
に 似 て い る と み な し て い る の で 、
h
∈
H
{\displaystyle h\in H}
を 右 か ら 乗 じ れ ば 、
g
=
T
e
G
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}
の 元 は
T
h
G
{\displaystyle T_{h}G}
に 移 動 し て し ま う の で 、 左 か ら も
h
−
1
{\displaystyle h^{-1}}
を 乗 じ て
g
=
T
e
G
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}
に 戻 す 随 伴 表 現
A
d
(
h
−
1
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} (h^{-1})}
を 作 用 さ せ た も の と 等 し く な る 事 を 要 請 す る 。
な お 、
ω
:
T
p
P
→
∼
g
{\displaystyle \omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}}
は 同 型 な の で 、 M 上 定 義 で き る カ ル タ ン 幾 何 学 に は
dim
g
=
dim
h
+
dim
M
{\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\dim M}
と い う 制 約 が 課 せ ら れ る 事 に な る 。
主接続との関係 [ 編集 ]
カ ル タ ン 接 続 の 定 義 は 主 バ ン ド ル の 接 続 ︵ 主 接 続 ︶ の 接 続 形 式 の 定 義 と よ く 似 て い る が 、 両 者 は 似 て 非 な る 概 念 で あ り 、 H - 主 バ ン ド ル の 主 接 続 の 接 続 形 式 は H の リ ー 代 数
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
に 値 を 取 る が 、 カ ル タ ン 接 続 は G の リ ー 代 数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
に 値 を 取 っ て い る 。 し か し 、
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を モ デ ル 幾 何 学 と す る 多 様 体 M 上 の カ ル タ ン 幾 何 学 と す る と き 、 H - 主 バ ン ド ル
π
:
P
→
M
{\displaystyle \pi ~:~P\to M}
上 定 義 さ れ た カ ル タ ン 接 続
ω
:
T
P
→
g
{\displaystyle \omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}}
は 、 自 然 に
Q
:=
P
×
H
G
→
M
{\displaystyle Q:=P\times _{H}G\to M}
と い う G - 主 バ ン ド ル 上 の
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
- 値 1 - 形 式
ω
¯
:
T
Q
→
g
{\displaystyle {\bar {\omega }}~:~TQ\to {\mathfrak {g}}}
に 拡 張 す る 事 が で き [ 1 4 ] 、
ω
¯
{\displaystyle {\bar {\omega }}}
は G - 主 バ ン ド ル
Q
→
M
{\displaystyle Q\to M}
の 接 続 形 式 で あ る [ 1 4 ] 。 逆 に
Q
→
M
{\displaystyle Q\to M}
を 任 意 の G - 主 バ ン ド ル と し 、
ω
¯
{\displaystyle {\bar {\omega }}}
を Q 上 定 義 さ れ た 接 続 形 式 と す る と き 、
Q
→
M
{\displaystyle Q\to M}
の H - 部 分 バ ン ド ル
φ
:
P
→
Q
{\displaystyle \varphi ~:~P\to Q}
で
φ
∗
(
T
P
)
∩
ker
ω
=
{
0
}
{\displaystyle \varphi _{*}(TP )\cap \ker \omega =\{0\}}
で あ り 、 し か も
dim
G
=
dim
P
{\displaystyle \dim G=\dim P}
で あ れ ば ω の TP へ の 制 限 は P 上 の カ ル タ ン 接 続 に な る [ 1 5 ] 。
な お 、 モ デ ル 幾 何 学 が ﹁ 簡 約 可 能 ﹂ と い う 条 件 を 満 た す 場 合 は 、 上 記 の も の と は 別 の 形 の 関 係 性 を カ ル タ ン 接 続 と 主 接 続 は 満 た す 。 詳 細 は 後 述 す る 。
無 限 小 ク ラ イ ン 幾 何 学 に よ る 定 式 化 [ 編 集 ]
定 義 か ら 分 か る よ う に 、 カ ル タ ン 幾 何 学 の 定 義 は
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
、
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
、 お よ び H に は 依 存 し て い る が 、 G に は 直 接 依 存 し て い な い 。 こ れ は
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
、
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
、 お よ び H は M 上 の カ ル タ ン 幾 何 学 の 局 所 的 な 構 造 を 定 め る の に 対 し 、 G は ク ラ イ ン 幾 何 学
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
の 大 域 的 な 構 造 を 定 め る も の で あ る た め 、 G が 不 要 で あ る 事 に よ る 。
リ ー 代 数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
に 対 応 す る リ ー 群 G は 一 意 で は な く [ 注 4 ] 、 こ れ が 原 因 で 大 域 的 な 構 造 を 定 め る G は カ ル タ ン 幾 何 学 の 定 義 に 必 須 で な い ば か り か 、 一 部 の 定 理 で は G を ︵
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
に 対 応 す る ︶ 別 の リ ー 群 に 取 り 替 え る 必 要 が 生 じ て し ま う 。
そ こ で G に 直 接 言 及 せ ず 、
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
を 使 っ た カ ル タ ン 幾 何 学 の 定 式 化 も 導 入 す る 。 そ の た め に 以 下 の 定 義 を す る ‥
定 義 ― リ ー 代 数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
と そ の 部 分 リ ー 代 数
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
の 組
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
を 無 限 小 ク ラ イ ン 幾 何 学 [ 訳 語 疑 問 点 ] ︵ 英 : i n f i n i t e s i m a l K l e i n g e o m e t r y ︶ [ 1 6 ] も し く は ク ラ イ ン 対 [ 訳 語 疑 問 点 ] ︵ 英 : K l e i n p a i r ︶ [ 1 6 ] と い う 。
H を
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
を リ ー 代 数
と す る リ ー 群 と し 、 さ ら に
A
d
:
H
→
G
L
L
i
e
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} ~:~H\to \mathrm {GL} _{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})}
を H の 線 形 表 現 で 、 任 意 の
h
∈
H
{\displaystyle h\in H}
に 対 し 、
A
d
(
h
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} (h )}
の
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
へ の 制 限
A
d
(
h
)
|
h
{\displaystyle \mathrm {Ad} (h )|_{\mathfrak {h}}}
が H の
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
へ の 随 伴 表 現
A
d
h
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{\mathfrak {h}}}
と 等 し い も の と す る [ 注 5 ] 。 こ こ で
G
L
L
i
e
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {GL} _{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})}
は
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
上 の リ ー 代 数 と し て の 自 己 同 型 全 体 の 集 合 で あ る 。
こ の と き 、 組
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
を モ デ ル 幾 何 学 と い う [ 1 7 ] 。
以 下 、 特 に 断 り が な け れ ば 、
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
が 効 果 的 で あ る 事 を 仮 定 す る [ 注 6 ] 。 こ こ で
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
が 効 果 的 で あ る と は 、
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
に 含 ま れ る
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
の イ デ ア ル が
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
の み で あ る 事 を 意 味 す る 。 G 、 H を
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
、
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
に 対 応 す る リ ー 群 と す る と 、
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
が 効 果 的 で あ る 事 は 、
X
=
G
/
H
{\displaystyle X=G/H}
、
K
:=
{
g
∈
G
∣
∀
x
∈
X
:
g
x
=
x
}
{\displaystyle K:=\{g\in G\mid \forall x\in X~:~gx=x\}}
と す る と き 、 K が 離 散 群 に な る 事 と 同 値 で あ る [ 1 8 ] 。
定 義 ( 無 限 小 ク ラ イ ン 幾 何 学 に よ る カ ル タ ン 幾 何 学 の 定 義 ) ―
M を 多 様 体 と し 、
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
を モ デ ル 幾 何 学 と し 、
●
π
:
P
→
M
{\displaystyle \pi ~:~P\to M}
を H - 主 バ ン ド ル と し 、
● ω を ク ラ イ ン 幾 何 学 に よ る カ ル タ ン 幾 何 学 の 定 義 の 条 件 を 満 た す P 上 の
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
- 値 1 - 形 式 と す る 。
こ の と き 、 組
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を H を 伴 う
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
を モ デ ル と す る M 上 の カ ル タ ン 幾 何 学 ︵ 英 : C a r t a n g e o m e t r y o n M m o d e l e d o n
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
w i t h H ︶ と い う [ 1 2 ] 。
カルタン幾何学としてのクライン幾何学 [ 編集 ]
本 節 で は カ ル タ ン 幾 何 学 の 最 も 簡 単 な 例 と し て 、 ク ラ イ ン 幾 何 学 の カ ル タ ン 幾 何 学 と し て の 構 造 を 調 べ る 。
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を ク ラ イ ン 幾 何 学 と し 、
M
=
G
/
H
{\displaystyle M=G/H}
と し 、
u
0
=
[
e
]
{\displaystyle u_{0}=[e ]}
と す る 。 こ こ で
[
e
]
{\displaystyle [e ]}
は G の 単 位 元 e の 同 値 類 で あ る 。 こ の と き
π
:
g
∈
G
↦
g
u
0
∈
M
{\displaystyle \pi ~:~g\in G\mapsto gu_{0}\in M}
は 自 然 に H - 主 バ ン ド ル と み な せ る 。 G 上 の モ ー レ ー ・ カ ル タ ン 形 式
ω
G
{\displaystyle \omega ^{G}}
が カ ル タ ン 接 続 の 定 義 を 満 た す 事 を 示 せ る の で 、
(
π
,
G
,
μ
)
{\displaystyle (\pi ,G,\mu )}
は
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を モ デ ル と す る カ ル タ ン 幾 何 学 に な る 。
局 所 ク ラ イ ン 幾 何 学 と そ の 上 の カ ル タ ン 幾 何 学 [ 編 集 ]
リ ー 群 G と そ の 閉 部 分 リ ー 群 の 組
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を 考 え る [ 注 7 ] 。 G の 離 散 部 分 群
Γ
{\displaystyle \Gamma }
で 、
G
/
H
{\displaystyle G/H}
へ の G か ら の 作 用
G
↷
G
/
H
{\displaystyle G\curvearrowright G/H}
の
Γ
{\displaystyle \Gamma }
へ の 制 限
Γ
↷
G
/
H
{\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H}
が 効 果 的 な も の を 考 え る ︵
Γ
↷
G
/
H
{\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H}
が 効 果 的 な 事 は
Γ
∩
H
=
{
e
}
{\displaystyle \Gamma \cap H=\{e\}}
で あ る 事 と 同 値 で あ る ︶ 。 こ の と き 、
Γ
↷
G
/
H
{\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H}
に よ る 商 集 合
M
=
Γ
∖
G
/
H
{\displaystyle M=\Gamma \backslash G/H}
を 考 え る 。 M が 連 結 な と き 、
(
G
,
H
,
Γ
)
{\displaystyle (G,H,\Gamma )}
を 局 所 ク ラ イ ン 幾 何 学 ︵ 英 : l o c a l l y K l e i n g e o m e t r y ︶ と い う [ 2 0 ] 。
局 所 ク ラ イ ン 幾 何 学 M 上 に 以 下 の よ う に カ ル タ ン 幾 何 学 を 定 義 で き る 。 ま ず
Γ
↷
G
/
H
{\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H}
が 効 果 的 な の で
P
=
Γ
∖
G
{\displaystyle P=\Gamma \backslash G}
と す る と 、 商 写 像
π
:
P
=
Γ
∖
G
→
M
=
Γ
∖
G
/
H
{\displaystyle \pi ~:~P=\Gamma \backslash G\to M=\Gamma \backslash G/H}
に は 自 然 に H - 主 バ ン ド ル の 構 造 が 入 る [ 注 8 ] 。 ま た G 上 の モ ー レ ー ・ カ ル タ ン 形 式
ω
G
{\displaystyle \omega ^{G}}
は そ の 定 義 よ り 左 不 変 な の で 、 商 写 像
q
:
G
→
Γ
∖
G
{\displaystyle q~:~G\to \Gamma \backslash G}
に 対 し
π
∗
(
ω
Γ
∖
G
)
=
ω
G
{\displaystyle \pi ^{*}(\omega ^{\Gamma \backslash G})=\omega ^{G}}
を 満 た す 一 意 な
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
- 値 1 - 形 式 を
ω
Γ
∖
G
{\displaystyle \omega ^{\Gamma \backslash G}}
と す る 事 で 、
P
=
Γ
∖
G
{\displaystyle P=\Gamma \backslash G}
に カ ル タ ン 接 続
ω
Γ
∖
G
{\displaystyle \omega ^{\Gamma \backslash G}}
が w e l l - d e f i n e d さ れ 、
M
=
Γ
∖
G
/
H
{\displaystyle M=\Gamma \backslash G/H}
上 に
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を モ デ ル と す る カ ル タ ン 幾 何 学
(
π
,
P
,
ω
Γ
∖
G
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega ^{\Gamma \backslash G})}
が 定 義 で き る [ 2 0 ] 。
カ ル タ ン 幾 何 学 の ︵ 局 所 ︶ 幾 何 学 的 同 型 [ 編 集 ]
2 つ の カ ル タ ン 幾 何 学 の 間 の ︵ 局 所 的 お よ び 大 域 的 な ︶ 同 型 概 念 を 以 下 の よ う に 定 義 す る ‥
定 義 ―
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
を モ デ ル 幾 何 学 と し 、 M 1 、 M 2 を 多 様 体 と し 、
(
π
1
,
P
1
,
ω
1
)
{\displaystyle (\pi _{1},P_{1},\omega _{1})}
、
(
π
2
,
P
2
,
ω
2
)
{\displaystyle (\pi _{2},P_{2},\omega _{2})}
を そ れ ぞ れ
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
を モ デ ル 幾 何 学 と す る M 1 、 M 2 上 の カ ル タ ン 幾 何 学 と す る 。
バ ン ド ル 写 像
(
f
,
f
~
)
:
(
M
1
,
P
1
)
→
(
M
2
,
P
2
)
{\displaystyle (f,{\tilde {f}})~:~(M_{1},P_{1})\to (M_{2},P_{2})}
で
f
:
M
1
→
M
2
{\displaystyle f~:~M_{1}\to M_{2}}
が は め 込 み で あ り 、
f
~
:
M
~
1
→
M
~
2
{\displaystyle {\tilde {f}}~:~{\tilde {M}}_{1}\to {\tilde {M}}_{2}}
に よ る
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
の 引 き 戻 し が
f
∗
(
ω
2
)
=
ω
1
{\displaystyle f^{*}(\omega _{2})=\omega _{1}}
と な る も の を カ ル タ ン 幾 何 学 間 の 局 所 幾 何 学 的 同 型 ︵ 英 : l o c a l g e o m e t r i c i s o m o r p h i s m ︶ と い う [ 2 1 ] 。 と く に f が ︵ 可 微 分 ︶ 同 相 写 像 で あ れ ば 、
(
f
,
f
~
)
{\displaystyle (f,{\tilde {f}})}
を 幾 何 学 的 同 型 ︵ 英 : g e o m e t r i c i s o m o r p h i s m ︶ と い う [ 2 1 ] 。
定数ベクトル場と普遍共変微分 [ 編集 ]
任 意 の
p
∈
P
{\displaystyle p\in P}
に 対 し て
ω
:
T
p
P
→
∼
g
{\displaystyle \omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}}
は 同 型 写 像 で あ る の で 、 TP は ω に よ り
T
P
≈
P
×
g
{\displaystyle TP\approx P\times {\mathfrak {g}}}
と い う 同 一 視 が で き 、 TP は ベ ク ト ル バ ン ド ル と し て 自 明 で あ る 。
よ っ て 特 に
A
∈
g
{\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}}
を 各
p
∈
P
{\displaystyle p\in P}
に 対 し て ω の 逆 写 像 で T p P に 移 す こ と で 、 TP 上 の ベ ク ト ル 場 を 作 る 事 が で き る 。
定数ベクトル場を用いると、以下の「普遍共変微分」を定義できる:
定義 (普遍共変微分) ―
V をベクトル空間とし、
f
:
P
→
V
{\displaystyle f~:~P\to V}
を(滑らかな)写像とする。このとき、f にベクトル場
ω
−
1
(
A
)
{\displaystyle \omega ^{-1}(A)}
(は接ベクトル空間の元なので自然に微分作用素 とみなしたもの)を作用させた
D
A
f
:=
ω
−
1
(
A
)
f
{\displaystyle D_{A}f:=\omega ^{-1}(A)f}
をf のA による普遍共変微分 [訳語疑問点 ] (英 : universal covariant derivative )という[23] 。
モ デ ル 幾 何 学 が ﹁ 簡 約 可 能 ﹂ と い う 条 件 を 満 た す 場 合 は 、 普 遍 共 変 微 分 は 通 常 の 共 変 微 分 を 導 く 。 こ れ に つ い て は 後 述 。
接 バ ン ド ル [ 編 集 ]
本 節 で は カ ル タ ン 幾 何 学 が 定 義 さ れ た 多 様 体 の 接 バ ン ド ル の 構 造 を 調 べ る 。 そ の た め に 以 下 の 定 義 を す る 。
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
を モ デ ル 幾 何 学 と す る M 上 の カ ル タ ン 幾 何 学 と す る 。
A
d
{\displaystyle \mathrm {Ad} }
は H の
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
へ の 作 用 を 定 義 す る が 、
A
d
{\displaystyle \mathrm {Ad} }
の
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
へ の 制 限 は
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
上 の 随 伴 表 現 で あ る ︵ の で
A
d
{\displaystyle \mathrm {Ad} }
は
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
を 保 つ ︶ こ と か ら 、
A
d
{\displaystyle \mathrm {Ad} }
は H の
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
へ の 作 用 を 誘 導 す る 。 ま た H は H - 主 バ ン ド ル P に 作 用 し て い た の で 、 こ れ の 作 用 に よ り 、 ベ ク ト ル バ ン ド ル
P
×
H
,
A
d
g
/
h
{\displaystyle P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
を 定 義 で き る 。 実 は こ の ベ ク ト ル バ ン ド ル は 接 バ ン ド ル と 同 型 で あ る ‥
定理 (接バンドルと無限小クライン幾何学の関係 ) ― ベクトルバンドルとしての同型
P
×
H
,
A
d
g
/
h
≈
T
M
{\displaystyle P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx TM}
が成立する[24] 。
具 体 的 に は 写 像
[
(
p
,
[
A
]
)
]
∈
P
×
H
,
A
d
g
/
h
↦
π
∗
(
ω
p
−
1
(
A
)
)
∈
T
M
{\displaystyle [(p,[A ])]\in P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\mapsto \pi _{*}(\omega _{p}{}^{-1}(A ))\in TM}
は w e l l - d e f i n e d で あ り 、 ベ ク ト ル バ ン ド ル と し て の 同 型 写 像 で あ る [ 2 4 ] 。 こ こ で
ω
p
−
1
(
A
)
{\displaystyle \omega _{p}{}^{-1}(A )}
は 同 型 写 像
ω
p
:
T
p
P
→
∼
g
{\displaystyle \omega _{p}~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}}
の 逆 写 像
ω
p
−
1
{\displaystyle \omega _{p}{}^{-1}}
で
A
∈
g
{\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}}
を
T
p
P
{\displaystyle T_{p}P}
に 移 し た も の で あ る 。
ク ラ イ ン 幾 何 学 を カ ル タ ン 幾 何 学 と み な し た 場 合 、 カ ル タ ン 接 続 は モ ー レ ー ・ カ ル タ ン 形 式 ω G と 等 し い の で 、 カ ル タ ン 接 続 は 構 造 方 程 式
d
ω
G
+
1
2
[
ω
G
,
ω
G
]
=
0
{\displaystyle d\omega ^{G}+{1 \over 2}[\omega ^{G},\omega ^{G}]=0}
を 満 た す が 、 一 般 の カ ル タ ン 幾 何 学 は 構 造 方 程 式 を 満 た す と は 限 ら な い 。 そ こ で 以 下 の 量 を 考 え る ‥
定義 (曲率) ―
カルタン接続ω を持つ多様体M 上のカルタン幾何学
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
に対し、P 上の
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
-値2-形式
Ω
:=
d
ω
+
1
2
[
ω
,
ω
]
{\displaystyle \Omega :=d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]}
をカルタン幾何学
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
の曲率 (英 : curvature )という[12] 。
Ω は(局所)クライン幾何学からのズレを表す量であると解釈でき、明らかにクライン幾何学や局所クライン幾何学の曲率 は恒等的に0である。
曲率は以下を満たす:
定理 (カルタン接続のビアンキ恒等式 ) ― カルタン接続ω とその曲率Ω は下記の恒等式(ビアンキ恒等式 、英 : Bianchi identity )を満たす[25] :
d
Ω
=
[
Ω
,
ω
]
{\displaystyle d\Omega =[\Omega ,\omega ]}
点
u
∈
M
{\displaystyle u\in M}
の フ ァ イ バ ー P u に は H が 単 純 推 移 的 に 作 用 す る の で 、
p
∈
P
u
{\displaystyle p\in P_{u}}
を f i x し て 、
h
∈
H
↦
p
h
∈
P
u
{\displaystyle h\in H\mapsto ph\in P_{u}}
に よ り H と P u を 同 一 視 す る と 、 TP u 上 に モ ー レ ー ・ カ ル タ ン 形 式 ω H が 定 義 で き る 。 し か も ω H は
p
∈
P
u
{\displaystyle p\in P_{u}}
の 取 り 方 に 依 存 し な い こ と も 容 易 に 証 明 で き る 。 実 は 曲 率 の P u へ の 制 限 は ω H に 一 致 す る 。
定 理 ― 任 意 の
u
∈
M
{\displaystyle u\in M}
に 対 し 、 曲 率 Ω の TP u へ の 制 限 は TP u 上 の ω H に 一 致 す る 。 よ っ て 特 に 、 任 意 の
v
,
w
∈
T
p
P
u
{\displaystyle v,w\in T_{p}P_{u}}
に 対 し 、
Ω
p
(
v
,
w
)
=
0
{\displaystyle \Omega _{p}(v,w)=0}
で あ る 。
なお、実はv 、w の少なくとも一方がTp Pu に属していれば、
Ω
p
(
v
,
w
)
=
0
{\displaystyle \Omega _{p}(v,w)=0}
である事が知られている[26] 。よって特に次が成立する:
こ の Ω ' は 次 節 で 導 入 す る 曲 率 関 数 を 用 い る 事 で 具 体 的 に 記 述 で き る 。
曲 率 関 数 [ 編 集 ]
ω
p
T
p
P
→
∼
g
{\displaystyle \omega _{p}T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}}
が 同 型 写 像 で あ っ た こ と か ら 、 写 像 の 合 成
∧
2
g
→
∼
∧
2
T
p
P
→
Ω
g
{\displaystyle \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\wedge ^{2}T_{p}P{\overset {\Omega }{\to }}{\mathfrak {g}}}
を 定 義 で き る 。 ま た す で に 述 べ た よ う に v 、 w の 少 な く と も 一 方 が T p P u に 属 し て い れ ば 、
Ω
p
(
v
,
w
)
=
0
{\displaystyle \Omega _{p}(v,w)=0}
で あ る 事 が 知 ら れ て い る [ 2 6 ] 事 か ら 、 こ の 写 像 は
∧
2
g
/
h
{\displaystyle \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
上 の 写 像 を w e l l - d e f i n e d に 誘 導 す る 。
曲 率
Ω
:
∧
2
T
p
P
≈
∧
2
g
→
g
{\displaystyle \Omega ~:~\wedge ^{2}T_{p}P\approx \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
が M 上 の
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
- 値 2 - 形 式 Ω ' を 誘 導 す る 事 を 前 に 見 た 。 こ の Ω ' は 曲 率 関 数 を 使 っ て 以 下 の よ う に 書 き 表 す 事 が で き る 。
Ω
:
⋀
2
T
p
P
≈
⋀
2
g
→
g
π
∗
↓
↻
↓
↻
|
|
Ω
′
:
⋀
2
T
π
(
p
)
M
≈
⋀
2
g
/
h
→
K
p
g
{\displaystyle {\begin{array}{cccccc}\Omega ~:~&\bigwedge ^{2}T_{p}P&\approx &\bigwedge ^{2}{\mathfrak {g}}&\to &{\mathfrak {g}}\\&\pi _{*}\downarrow &\circlearrowright &\downarrow &\circlearrowright &||\\\Omega '~:~&\bigwedge ^{2}T_{\pi (p )}M&\approx &\bigwedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}&{\overset {K_{p}}{\to }}&{\mathfrak {g}}\end{array}}}
さ ら に 以 下 の 定 義 を す る ‥
モ デ ル 幾 何 学 が ア フ ィ ン 幾 何 学 で あ る 場 合 は 、 こ の 捩 率 は ア フ ィ ン 接 続 の 捩 率 テ ン ソ ル に 一 致 す る 。 詳 細 は 後 述 。
標 準 形 式 [ 編 集 ]
本 節 の 目 標 は 、 商 写 像
ρ
:
g
→
g
/
h
{\displaystyle \rho ~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
と カ ル タ ン 接 続 の 合 成
ρ
∘
ω
{\displaystyle \rho \circ \omega }
の 幾 何 学 的 意 味 を 説 明 す る 事 で あ る 。
ま ず 、
ρ
∘
ω
{\displaystyle \rho \circ \omega }
は 以 下 の よ う に 特 徴 づ け る 事 が で き る ‥
上 記 の 特 徴 付 け か ら 、
ρ
∘
ω
{\displaystyle \rho \circ \omega }
の 幾 何 学 的 意 味 は 同 型
P
×
H
g
/
h
→
∼
T
M
{\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}{\overset {\sim }{\to }}TM}
に 関 係 し て い る の で 、 こ の 同 型 の 幾 何 学 的 意 味 を 見 る 。
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
に ベ ク ト ル 空 間 と し て の 基 底
e
1
,
…
,
e
m
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}
を f i x し 、 同 型
P
×
H
,
A
d
g
/
h
→
∼
T
M
{\displaystyle P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}{\overset {\sim }{\to }}TM}
に よ る
[
p
,
e
i
]
{\displaystyle [p,e_{i}]}
の 像 を
e
i
p
{\displaystyle e_{i}^{p}}
と す る と 、
e
p
:=
(
e
1
p
,
…
,
e
m
p
)
{\displaystyle e^{p}:=(e_{1}^{p},\ldots ,e_{m}^{p})}
は
T
π
(
p
)
M
{\displaystyle T_{\pi (p )}M}
の 基 底 を な す 。
よ っ て 特 に 、
F
:=
{
e
p
∣
p
∈
P
}
{\displaystyle F:=\{e^{p}\mid p\in P\}}
と す る と 、 F は M 上 の フ レ ー ム バ ン ド ル ︵ 英 語 版 ︶ ︵ = 各 点 の フ ァ イ バ ー が TM の 基 底 か ら な る バ ン ド ル ︶ に な る [ 2 8 ] 。
一 般 に は 対 応
p
∈
P
↦
e
p
∈
F
{\displaystyle p\in P\mapsto e^{p}\in F}
は 全 単 射 で は な い が 、
P
×
H
,
A
d
g
/
h
{\displaystyle P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
の 定 義 か ら 、 カ ル タ ン 幾 何 学 が 下 記 の 意 味 で ﹁ 一 階 ﹂ で あ れ ば 、 こ の 写 像 は 全 単 射 に な る ‥
定義 ―
随伴表現
A
d
:
H
→
G
L
(
g
/
h
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} ~:~H\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})}
が忠実なとき、クライン幾何学
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
(および
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
をモデルに持つカルタン幾何学)は一階 [訳語疑問点 ] (英 : first order )であるといい、そうでないとき高階 [訳語疑問点 ] (英 : higher order )であるという[29] 。
以上の準備のもと、
ρ
∘
ω
{\displaystyle \rho \circ \omega }
を幾何学的に意味付ける:
定 理 (
ρ
∘
ω
{\displaystyle \rho \circ \omega }
の 解 釈 ) ― 記 号 を 上 と 同 様 に 取 り 、 カ ル タ ン 幾 何 学
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
が 一 階 で あ る と す る 。 こ の と き 、
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
の 基 底
e
1
,
…
,
e
m
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}
で
g
/
h
≈
R
m
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx \mathbb {R} ^{m}}
と い う 同 一 視 を 行 う と 、
v
∈
T
p
P
≈
T
e
p
F
{\displaystyle v\in T_{p}P\approx T_{e^{p}}F}
に 対 し 、
ρ
∘
ω
(
v
)
∈
g
/
h
≈
R
m
{\displaystyle \rho \circ \omega (v )\in {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx \mathbb {R} ^{m}}
は 基 底
e
p
=
(
e
1
p
,
…
,
e
m
p
)
{\displaystyle e^{p}=(e_{1}^{p},\ldots ,e_{m}^{p})}
で
π
(
v
)
{\displaystyle \pi (v )}
を 成 分 表 示 し た と き の 係 数
t
(
v
1
,
…
,
v
m
)
∈
R
m
{\displaystyle {}^{t}(v^{1},\ldots ,v^{m})\in \mathbb {R} ^{m}}
を 対 応 さ せ る
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
値 1 - 形 式 で あ る と み な せ る [ 2 8 ] [ 注 1 1 ] 。
上記のような、
v
∈
T
e
F
{\displaystyle v\in T_{e}F}
に
π
∗
(
v
)
=
v
i
e
i
{\displaystyle \pi _{*}(v)=v^{i}e_{i}}
となる
t
(
v
1
,
…
,
v
m
)
{\displaystyle {}^{t}(v^{1},\ldots ,v^{m})}
を対応させる
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
-値1-形式をフレームバンドル上の標準形式 (英 : canonical form )という[30] 。上述の定理はカルタン幾何学が一階であれば
ρ
∘
ω
{\displaystyle \rho \circ \omega }
は標準形式として意味づけられる事を保証する。
簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学 [ 編集 ]
本節ではモデル幾何学
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
が「簡約可能」という性質を満たす場合にが対するカルタン幾何学の性質を見る。具体的にはモデル幾何学がユークリッド幾何学やアフィン幾何学の場合には簡約可能になる。
まず簡約可能性を定義する:
な お 、
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
の 取 り 方 は 一 意 と は 限 ら な い の で 注 意 さ れ た い 。
G が 2 つ の リ ー 群 の 半 直 積
G
=
H
⋉
B
{\displaystyle G=H\ltimes B}
で 書 け て い る 場 合 は 、 G 、 H に 対 応 す る モ デ ル 幾 何 学
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
は 、 B の リ ー 代 数 を
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
と し て 選 ぶ 事 で 簡 約 可 能 で あ る [ 3 3 ] 。
よ っ て 特 に ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 の 等 長 変 換 群
I
s
o
(
E
m
)
{\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})}
は 直 交 群
O
(
m
)
{\displaystyle O(m )}
と 平 行 移 動 の な す 群 の 半 直 積 で 書 け る の で 対 応 す る モ デ ル 幾 何 学 は 簡 約 可 能 で あ る 。 ア フ ィ ン 幾 何 学 も 同 様 で あ る 。
カ ル タ ン 接 続 の 分 解 [ 編 集 ]
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
を モ デ ル 幾 何 学 に す る 多 様 体 M 上 の カ ル タ ン 幾 何 学 と す る 。 モ デ ル 幾 何 学
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
が 、
h
⊕
b
=
g
{\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}}
と 簡 約 可 能 な と き 、
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
の 元 は
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
の 元 と
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
の 元 の 和 で 一 意 に 表 現 で き る の で 、 カ ル タ ン 接 続
ω
:
T
P
→
g
{\displaystyle \omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}}
も
ω
=
ω
h
+
ω
b
{\displaystyle \omega =\omega _{\mathfrak {h}}+\omega _{\mathfrak {b}}}
の よ う に ﹁
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
部 分 ﹂ と ﹁
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
部 分 ﹂ の 和 で 書 け る 。 こ の 分 解 を 用 い る と 、 カ ル タ ン 接 続 と 主 接 続 の 接 続 形 式 と の 関 係 性 を 以 下 の よ う に 記 述 で き る ‥
定 理 ( 簡 約 可 能 な 場 合 の カ ル タ ン 接 続 と 接 続 形 式 の 関 係 ) ―
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
を
h
⊕
b
=
g
{\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}}
と 簡 約 可 能 な モ デ ル 幾 何 学 と し 、 M を 多 様 体 と し 、
π
:
P
→
M
{\displaystyle \pi ~:~P\to M}
を H - 主 バ ン ド ル と す る 。
こ の と き P 上 の カ ル タ ン 接 続 ω を
ω
=
ω
h
+
ω
b
{\displaystyle \omega =\omega _{\mathfrak {h}}+\omega _{\mathfrak {b}}}
と 分 解 す る と 、
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
は P 上 の 主 接 続 の 接 続 形 式 の 定 義 を 満 た す [ 3 4 ] 。
し た が っ て 、 簡 約 可 能 な モ デ ル 幾 何 学 の 場 合 に は カ ル タ ン 接 続 か ら 主 接 続 の 接 続 形 式
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
が 得 ら れ る こ と に な る 。
一 方 、
ω
b
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}}
は
b
⊂
g
→
ρ
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}{\overset {\rho }{\to }}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
に よ り
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
を
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
と 同 一 視 す る と 、
ω
b
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}}
は
ρ
∘
ω
{\displaystyle \rho \circ \omega }
と 同 一 視 で き 、 前 述 の よ う に ︵ カ ル タ ン 幾 何 学 が 一 階 で あ れ ば ︶
ρ
∘
ω
{\displaystyle \rho \circ \omega }
は 標 準 形 式 で あ る と み な せ る 。
し た が っ て 分 解
ω
=
ω
h
+
ω
b
{\displaystyle \omega =\omega _{\mathrm {h} }+\omega _{\mathrm {b} }}
は カ ル タ ン 接 続
ω
{\displaystyle \omega }
を 接 続 形 式
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
と 標 準 形 式
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
に 分 解 す る も の で あ る が 、 実 は 逆 に 接 続 形 式 と 標 準 形 式 か ら カ ル タ ン 接 続 を 復 元 で き る ‥
定 理 ( 一 階 で 簡 約 可 能 な 場 合 に お け る 接 続 形 式 か ら カ ル タ ン 接 続 の 再 現 ) ―
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を 一 階 の ク ラ イ ン 幾 何 学 で 対 応 す る リ ー 代 数 の 組
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
が
h
⊕
b
=
g
{\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}}
と 簡 約 可 能 な も の と す る 。 M を 多 様 体 と し 、
π
:
P
→
M
{\displaystyle \pi ~:~P\to M}
を TM の 主 バ ン ド ル と し 、 P を H - フ レ ー ム バ ン ド ル F と 前 述 の 方 法 で 同 一 視 す る 。
さ ら に γ を P = F 上 の 接 続 形 式 と し 、 θ を F の 標 準 形 式 と す る 。
こ の と き 、
ω
p
:
v
∈
T
p
P
↦
γ
(
v
p
)
+
θ
(
v
p
)
∈
h
⊕
(
g
/
h
)
≈
h
⊕
b
=
g
{\displaystyle \omega _{p}~:~v\in T_{p}P\mapsto \gamma (v_{p})+\theta (v_{p})\in {\mathfrak {h}}\oplus ({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})\approx {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}}
は P = F 上 の カ ル タ ン 接 続 の 公 理 を 満 た す [ 3 4 ] [ 注 1 3 ] 。
前 述 し た 、 カ ル タ ン 接 続 か ら 接 続 形 式 と 標 準 形 式 と に 分 解 す る 定 理 と は 丁 度 ﹁ 逆 写 像 ﹂ の 関 係 に あ り 、 簡 約 可 能 で 一 階 の 場 合 は カ ル タ ン 接 続 は 接 続 形 式 と 標 準 形 式 と の 組 と 1 対 1 に 対 応 す る [ 3 4 ] 。
K o s z u l 接 続 [ 編 集 ]
モ デ ル 幾 何 学 が 簡 約 可 能 で あ る 場 合 、 上 述 し た よ う に カ ル タ ン 接 続 ω か ら 定 義 さ れ る
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
は H - 主 バ ン ド ル P の 接 続 形 式 に な る 。 ベ ク ト ル 空 間 V 上 の H の 線 形 表 現
γ
:
H
→
G
L
(
V
)
{\displaystyle \gamma ~:~H\to \mathrm {GL} (V )}
が あ れ ば 、 ベ ク ト ル バ ン ド ル と し て の 接 続 ︵ K o s z u l 接 続 ︶ の 一 般 論 か ら 、 接 続 形 式
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
は M 上 の ベ ク ト ル バ ン ド ル
E
:=
P
×
H
,
γ
V
{\displaystyle E:=P\times _{H,\gamma }V}
に K o s z u l 接 続 を 定 め る [ 3 5 ] 。
よ っ て 特 に 、 接 バ ン ド ル は
T
M
≈
P
×
H
,
A
d
g
/
h
{\displaystyle TM\approx P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
と 書 け た の で 、
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
は TM 上 の K o s z u l 接 続 、 す な わ ち ア フ ィ ン 接 続 ∇ を 定 め る 。
こ の こ と か ら 分 か る よ う に モ デ ル 幾 何 学 が ア フ ィ ン 幾 何 学 で な く て も 、 簡 約 可 能 で あ り さ え す れ ば ア フ ィ ン 接 続 を 誘 導 す る 。
し か し 特 に モ デ ル 幾 何 学 が ア フ ィ ン 幾 何 学 で あ れ ば 、 ア フ ィ ン 変 換 群 G の
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
上 の 随 伴 表 現 は
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
上 の ア フ ィ ン 変 換 に な る 事 を 示 す 事 が で き 、 こ の 意 味 に お い て
T
M
≈
P
×
H
,
A
d
g
/
h
{\displaystyle TM\approx P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
は ア フ ィ ン 空 間
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
の バ ン ド ル と な る 。 後 述 す る よ う に 、 こ の 事 実 が 例 え ば モ デ ル が ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 の 場 合 に は 重 要 に な る 。
普 遍 共 変 微 分 と の 関 係 [ 編 集 ]
γ
:
H
→
G
L
(
V
)
{\displaystyle \gamma ~:~H\to \mathrm {GL} (V )}
を ベ ク ト ル 空 間 V 上 の H の 線 形 表 現 と し 、
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
が M 上 の ベ ク ト ル バ ン ド ル
E
:=
P
×
H
,
γ
V
{\displaystyle E:=P\times _{H,\gamma }V}
に 定 め る K o s z u l 接 続 を ∇ と す る 。
E の 切 断 s と
p
∈
P
{\displaystyle p\in P}
に 対 し 、
s
π
(
p
)
=
[
p
,
f
s
(
p
)
]
∈
P
×
H
,
γ
V
=
E
{\displaystyle s_{\pi (p )}=[p,f_{s}(p )]\in P\times _{H,\gamma }V=E}
と な る
f
s
(
p
)
{\displaystyle f_{s}(p )}
が 一 意 に 存 在 し 、 f s は P か ら V へ の 関 数
f
s
:
P
→
V
{\displaystyle f_{s}~:~P\to V}
と み な せ る 。
上記のように
D
ω
b
(
X
~
)
f
s
{\displaystyle D_{\omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})}f_{s}}
はKoszul接続
∇
X
s
{\displaystyle \nabla {}_{X}s}
と関係するが、それに対し
D
ω
h
(
X
~
)
f
s
{\displaystyle D_{\omega _{\mathfrak {h}}({\tilde {X}})}f_{s}}
の方は自明なものになってしまう:
曲率の分解 [ 編集 ]
本 節 で は モ デ ル 幾 何 学
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
が
g
=
h
+
b
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {b}}}
と 簡 約 可 能 で し か も
[
b
,
b
]
⊂
b
{\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}}
と な っ て い る 場 合 、 す な わ ち
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
と し て
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
の 部 分 リ ー 代 数 に な っ て い る も の を 取 れ る 場 合 に 対 し 、 曲 率 の ﹁
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
部 分 ﹂ と ﹁
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
部 分 ﹂ を 具 体 的 に 書 き 表 す 。
先 に 進 む 前 に こ の 条 件 を 満 た す モ デ ル 幾 何 学 の 具 体 例 を 述 べ る 。 例 え ば
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
に 対 応 す る リ ー 群 G が 2 つ の リ ー 群 の 半 直 積
G
=
H
⋉
B
{\displaystyle G=H\ltimes B}
で 書 け て い る 場 合 に 、
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
と し て B の リ ー 代 数 を 取 れ ば 上 述 の 条 件 を 満 た す 。 特 に 、 モ デ ル 幾 何 学 が ア フ ィ ン 幾 何 学 で あ る 場 合 は 、 ア フ ィ ン 変 換 群
A
f
f
m
{\displaystyle \mathrm {Aff} _{m}}
は 線 形 変 換
G
L
m
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {GL} _{m}(\mathbb {R} )}
と 平 行 移 動 の な す 群
B
=
R
m
{\displaystyle B=\mathbb {R} ^{m}}
の 半 直 積 で 書 け 、 し か も
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
を B の リ ー 代 数 と す る と 、
[
b
,
b
]
=
{
0
}
{\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=\{0\}}
と い う よ り 強 い 条 件 が 成 立 す る 。 モ デ ル 幾 何 学 が ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 の 場 合 も 同 様 で あ る 。
曲 率 Ω は
g
=
h
+
b
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {b}}}
に 値 を 取 る の で 、 曲 率 を
Ω
=
Ω
h
+
Ω
b
{\displaystyle \Omega =\Omega _{\mathfrak {h}}+\Omega _{\mathfrak {b}}}
と ﹁
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
部 分 ﹂
Ω
h
{\displaystyle \Omega _{\mathfrak {h}}}
と ﹁
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
部 分 ﹂
Ω
b
{\displaystyle \Omega _{\mathfrak {b}}}
に 分 解 す る 。 商 写 像
b
⊂
g
→
ρ
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}{\overset {\rho }{\to }}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
が 同 型 に な る こ と か ら 、
b
≈
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {b}}\approx {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
と い う 同 一 視 を す る と 、
Ω
b
≈
ρ
(
Ω
)
=
τ
{\displaystyle \Omega _{\mathfrak {b}}\approx \rho (\Omega )=\tau }
と
Ω
b
{\displaystyle \Omega _{\mathfrak {b}}}
が カ ル タ ン 幾 何 学 の 捩 率
τ
=
ρ
(
Ω
)
{\displaystyle \tau =\rho (\Omega )}
に 対 応 す る 事 が 分 か る 。
と く に ア フ ィ ン 幾 何 学 を モ デ ル と す る カ ル タ ン 幾 何 学 の 場 合 、
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
は ア フ ィ ン 変 換 群
A
f
f
m
=
G
L
m
(
R
)
⋉
R
m
{\displaystyle \mathrm {Aff} _{m}=\mathrm {GL} _{m}(\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{m}}
の 並 進 部 分 で あ る
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
に 対 応 す る リ ー 代 数 で あ る の で 、 ア フ ィ ン 幾 何 学 を モ デ ル と す る 場 合 、 捩 率 と は 並 進 に 関 す る 曲 率 で あ る と み な せ る 。
構 造 方 程 式 [ 編 集 ]
曲 率 の 定 義 か ら 、
Ω
=
d
ω
+
1
2
[
ω
,
ω
]
{\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]}
=
d
ω
h
+
d
ω
b
+
1
2
[
ω
h
,
ω
h
]
+
[
ω
h
,
ω
b
]
+
1
2
[
ω
b
,
ω
b
]
{\displaystyle =d\omega _{\mathfrak {h}}+d\omega _{\mathfrak {b}}+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]+[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {b}},\omega _{\mathfrak {b}}]}
が 成 立 す る の で 、 仮 定
[
b
,
b
]
⊂
b
{\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}}
を 使 う と 以 下 が 成 立 す る 事 が 分 か る ‥
定理 (分解した場合の構造方程式 ) ―
Ω
h
=
d
ω
h
+
1
2
[
ω
h
,
ω
h
]
{\displaystyle \Omega _{\mathfrak {h}}=d\omega _{\mathfrak {h}}+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]}
τ
≈
Ω
b
=
d
ω
b
+
[
ω
h
,
ω
b
]
+
1
2
[
ω
b
,
ω
b
]
{\displaystyle \tau \approx \Omega _{\mathfrak {b}}=d\omega _{\mathfrak {b}}+[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {b}},\omega _{\mathfrak {b}}]}
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
が 接 続 形 式 に 対 応 し て い る 事 か ら 、 上 記 の 定 理 の 1 つ 目 の 式 は 、 接 続 形 式
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
が 定 義 す る 主 接 続 に 対 す る 第 二 構 造 方 程 式 で あ る 事 が わ か る 。 よ っ て 特 に 、
Ω
h
{\displaystyle \Omega _{\mathfrak {h}}}
は 主 接 続 の 曲 率 形 式 で あ る 事 が わ か る 。 し た が っ て
一 方 2 本 目 の 式 に お い て
ω
b
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}}
は
T
P
→
ω
g
→
g
/
h
≈
b
{\displaystyle TP{\overset {\omega }{\to }}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx {\mathfrak {b}}}
に 一 致 し 、 標 準 形 式 θ と し て 解 釈 で き る の で 、 モ デ ル 幾 何 学 が ア フ ィ ン 幾 何 学 で あ る 場 合 の よ う に
[
b
,
b
]
=
{
0
}
{\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=\{0\}}
で あ れ ば 、 2 本 目 の 式 は
τ
≈
d
θ
+
[
ω
h
,
θ
]
{\displaystyle \tau \approx d\theta +[\omega _{\mathfrak {h}},\theta ]}
と な り 、 第 一 構 造 方 程 式 に 対 応 し て い る 事 が 分 か る 。 よ っ て こ の 場 合 の 捩 率 は 接 続 形 式
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
が TM に よ っ て 定 ま る 主 接 続 の 捩 率 テ ン ソ ル に 一 致 す る 。
ビ ア ン キ 恒 等 式 [ 編 集 ]
前 述 し た カ ル タ ン 接 続 の ビ ア ン キ 恒 等 式
d
Ω
=
[
Ω
,
ω
]
{\displaystyle d\Omega =[\Omega ,\omega ]}
を ﹁
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
部 分 ﹂ と ﹁
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
部 分 ﹂ に 分 解 す る こ と で 以 下 の 定 理 が 結 論 づ け ら れ る ‥
定理 (分解した場合のビアンキ恒等式 ) ―
d
Ω
g
=
[
Ω
g
,
ω
g
]
{\displaystyle d\Omega _{\mathfrak {g}}=[\Omega _{\mathfrak {g}},\omega _{\mathfrak {g}}]}
d
τ
≈
d
Ω
b
=
[
τ
,
ω
h
]
+
[
Ω
h
,
ω
b
]
+
[
Ω
h
,
ω
h
]
{\displaystyle d\tau \approx d\Omega _{\mathfrak {b}}=[\tau ,\omega _{\mathfrak {h}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]}
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
が 接 続 形 式 に 対 応 し て い る 事 か ら 、 上 記 の 定 理 の 1 本 目 の 式 は 接 続 形 式
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
が 定 義 す る 主 接 続 に 関 す る 第 二 ビ ア ン キ 恒 等 式 で あ る 。
一 方 、 2 本 目 の 式 は 、 構 造 方 程 式 の 場 合 と 同 様 、 モ デ ル 幾 何 学 が ア フ ィ ン 幾 何 学 の よ う に
[
b
,
b
]
=
{
0
}
{\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=\{0\}}
を 満 た せ ば 、
d
τ
≈
[
τ
,
ω
h
]
+
[
Ω
h
,
θ
]
{\displaystyle d\tau \approx [\tau ,\omega _{\mathfrak {h}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\theta ]}
と 第 一 ビ ア ン キ 恒 等 式 に 一 致 す る 。
曲線の発展 [ 編集 ]
P 上の発展[ 編集 ]
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
をモデルとするM 上のカルタン幾何学とし、
φ
:
[
a
,
b
]
→
P
{\displaystyle \varphi ~:~[a,b]\to P}
を区間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上定義されたP 上の曲線とするt を[a ,b ] 上の点とすると、
T
φ
(
t
)
P
{\displaystyle T_{\varphi (t)}P}
にはカルタン接続ω により
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
の元が対応している。次の事実が知られている:
定 理 ・ 定 義 ― 記 号 を 上 述 の よ う に 取 り 、 g を G の 元 と す る と き 、 G 上 の 曲 線
φ
~
:
[
a
,
b
]
→
G
{\displaystyle {\tilde {\varphi }}~:~[a,b]\to G}
で 、 任 意 の
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
に 対 し 、
ω
G
(
d
φ
~
d
t
(
t
)
)
=
ω
(
d
φ
d
t
(
t
)
)
{\displaystyle \omega ^{G}\left({\tfrac {d{\tilde {\varphi }}}{dt}}(t )\right)=\omega \left({\tfrac {d\varphi }{dt}}(t )\right)}
が 成 立 し 、 し か も
φ
~
(
a
)
=
g
{\displaystyle {\tilde {\varphi }}(a )=g}
を 満 た す も の が が 一 意 に 存 在 す る が 成 立 す る [ 3 7 ] 。 こ こ で
ω
G
{\displaystyle \omega ^{G}}
は G の モ ー レ ー ・ カ ル タ ン 形 式 で あ る 。
曲 線
φ
~
{\displaystyle {\tilde {\varphi }}}
を 曲 線
φ
{\displaystyle \varphi }
の g か ら の ω に 関 す る 発 展 ( 英 : d e v e l o p m e n t ) と い う [ 3 7 ] [ 注 1 6 ] 。
モ ー レ ー ・ カ ル タ ン 形 式
ω
G
{\displaystyle \omega ^{G}}
は 、 G 上 の 接 ベ ク ト ル を G の 作 用 に よ り
g
=
T
e
G
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}
に 移 す 変 換 で あ っ た の で 、 上 記 の 定 理 は
d
φ
~
d
t
(
t
)
{\displaystyle {\tfrac {d{\tilde {\varphi }}}{dt}}(t )}
が G の 作 用 に よ る 移 動 を 除 い て
ω
(
d
φ
d
t
(
t
)
)
{\displaystyle \omega \left({\tfrac {d\varphi }{dt}}(t )\right)}
に 一 致 す る 事 を 意 味 す る 。
上 記 の 定 理 の 直 観 的 な 意 味 を 説 明 す る 。 ク ラ イ ン 幾 何 学
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
に お い て G は 等 質 空 間
G
/
H
{\displaystyle G/H}
に お け る 同 型 写 像 の な す 群 で あ っ た の で 、 そ の リ ー 代 数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
の 元 は
G
/
H
{\displaystyle G/H}
上 の ﹁ 無 限 小 同 型 変 換 ﹂ 、 す な わ ち 同 型 写 像 の 微 分 と み な せ た 。
カ ル タ ン 幾 何 学
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
の 付 与 さ れ た 多 様 体 M と は ﹁ 一 次 近 似 ﹂ が ク ラ イ ン 幾 何 学 に 見 え る 空 間 で あ り 、 T p P の 元 v p は カ ル タ ン 接 続 に よ り
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
の 元 と 対 応 し て お り 、
ω
(
v
p
)
{\displaystyle \omega (v_{p})}
は
π
(
u
)
{\displaystyle \pi (u )}
に お け る ﹁ 無 限 小 同 型 変 換 ﹂ を 意 味 し て い た 。
上 記 の 定 理 は 曲 線
φ
{\displaystyle \varphi }
に 沿 っ て ﹁ 無 限 小 同 型 変 換 ﹂ で あ る
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
の 元
ω
(
d
φ
d
t
(
t
)
)
{\displaystyle \omega \left({\tfrac {d\varphi }{dt}}(t )\right)}
を 束 ね て い く と そ の ﹁ 積 分 曲 線 ﹂ と し て 同 型 変 換 で あ る G の 元
φ
~
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {\varphi }}(t )}
が あ ら わ れ る 事 を 意 味 し て い る 。
も し M が
G
/
H
{\displaystyle G/H}
そ の も の で あ れ ば 、 こ の 同 型 変 換
φ
~
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {\varphi }}(t )}
は 実 際 に M 上 の 同 型 変 換 に な る 事 を 後 述 す る 。
M 上の発展[ 編集 ]
q
:
G
→
G
/
H
{\displaystyle q~:~G\to G/H}
をG から
G
/
H
{\displaystyle G/H}
への商写像とすると、上記の補題から次が成立する:
定 理 ・ 定 義 ―
c
:
[
a
,
b
]
→
M
{\displaystyle c~:~[a,b]\to M}
を M 上 の 曲 線 と し 、 x を
G
/
H
{\displaystyle G/H}
の 元 と す る 。
π
(
φ
(
t
)
)
=
c
(
t
)
{\displaystyle \pi (\varphi (t ))=c(t )}
を 満 た す P 上 の 曲 線 と
q
(
g
)
=
x
{\displaystyle q(g )=x}
を 満 た す
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
を 任 意 に 選 ん で
φ
{\displaystyle \varphi }
の g か ら の 発 展
φ
~
:
[
a
,
b
]
→
G
{\displaystyle {\tilde {\varphi }}~:~[a,b]\to G}
を 作 り 、
G
/
H
{\displaystyle G/H}
上 の 曲 線
c
~
(
t
)
:=
q
(
φ
~
(
t
)
)
{\displaystyle {\tilde {c}}(t ):=q({\tilde {\varphi }}(t ))}
を 考 え る と 、
c
~
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {c}}(t )}
は
φ
~
{\displaystyle {\tilde {\varphi }}}
、 g の 取 り 方 に よ ら ず w e l l - d e f i n e d で あ る 。
曲 線
c
~
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {c}}(t )}
を
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
の
G
/
H
{\displaystyle G/H}
に お け る x か ら の ω に 関 す る 発 展 ︵ 英 : d e v e l o p m e n t ︶ と い う [ 3 9 ] 。
ホロノミー [ 編集 ]
M が 連 結 で あ る と し 、
u
0
∈
M
{\displaystyle u_{0}\in M}
と
π
(
p
0
)
=
u
0
{\displaystyle \pi (p_{0})=u_{0}}
を 満 た す
p
0
∈
P
{\displaystyle p_{0}\in P}
を f i x し 、
c
:
[
a
,
b
]
→
M
{\displaystyle c~:~[a,b]\to M}
を u 0 を 基 点 と す る M 上 の 閉 曲 線 と す る 。
π
(
φ
(
t
)
)
=
c
(
t
)
{\displaystyle \pi (\varphi (t ))=c(t )}
を 満 た す P 上 の 閉 曲 線
φ
:
[
a
,
b
]
→
P
{\displaystyle \varphi ~:~[a,b]\to P}
で p 0 を 基 点 と す る も の と す る と 、 前 述 し た 補 題 か ら 、
φ
{\displaystyle \varphi }
の 単 位 元
e
∈
G
{\displaystyle e\in G}
か ら の 発 展
φ
~
:
I
→
G
{\displaystyle {\tilde {\varphi }}~:~I\to G}
の 終 点
φ
~
(
b
)
{\displaystyle {\tilde {\varphi }}(b )}
は
φ
{\displaystyle \varphi }
の 取 り 方 に よ ら ず 等 し い 。 そ こ で 以 下 の よ う な 定 義 を す る ‥
定 理 ・ 定 義 ― 記 号 を 上 の よ う に 取 り 、
Ω
(
M
,
u
0
)
{\displaystyle \Omega (M,u_{0})}
を u 0 を 基 点 と す る 閉 曲 線 全 体 の 空 間 ︵ 英 語 版 ︶ と す る 。 こ の と き 、
Φ
p
0
:
c
∈
Ω
(
M
,
u
0
)
↦
(
φ
~
{\displaystyle \Phi ^{p_{0}}~:~c\in \Omega (M,u_{0})\mapsto ({\tilde {\varphi }}}
の 終 点
)
∈
G
{\displaystyle )\in G}
は 閉 曲 線 の 結 合 に 関 し て 準 同 型 で あ り 、
Φ
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
{\displaystyle \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))}
は G の 部 分 群 を な す 。
Φ
p
0
(
c
)
{\displaystyle \Phi ^{p_{0}}(c )}
を 閉 曲 線 c の 基 点 u 0 の リ フ ト p 0 に 関 す る ホ ロ ノ ミ ー ︵ 英 : h o l o n o m y w i t h r e s p e c t t o p 0 ︶ [ 3 9 ] と い い 、
Φ
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
{\displaystyle \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))}
を p 0 に 関 す る M 上 の カ ル タ ン 幾 何 学
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
の ホ ロ ノ ミ ー 群 ︵ 英 :
h o l o n o m y g r o u p o f
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
w i t h r e s p e c t t o p 0 ︶ [ 3 9 ] [ 注 1 7 ] と い う 。
ホ ロ ノ ミ ー 群 は 基 点 や そ の リ フ ト を 取 り 替 え て も 、 共 役 を 除 い て 一 意 に 定 義 で き る 。 実 際 、 基 点 u 0 の リ フ ト p 0 を 別 の 点 p 0 h , w h e r e
h
∈
H
{\displaystyle h\in H}
に 取 り 替 え る と 、 ホ ロ ノ ミ ー は
Φ
p
0
h
(
c
)
=
h
−
1
Φ
p
0
(
c
)
h
{\displaystyle \Phi ^{p_{0}h}(c )=h^{-1}\Phi ^{p_{0}}(c )h}
を 満 た す [ 3 9 ] 。 ま た 基 点 u 0 を 別 の 基 点 u 1 に 変 え る と 、
Φ
p
1
(
Ω
(
M
,
u
1
)
)
=
g
−
1
Φ
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
g
{\displaystyle \Phi ^{p_{1}}(\Omega (M,u_{1}))=g^{-1}\Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))g}
を 満 た す
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
が 存 在 す る [ 3 9 ] 。
Φ
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
{\displaystyle \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))}
の 元 の う ち 、 0 - ホ モ ト ー プ な 閉 曲 線 全 体
Φ
0
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
{\displaystyle \Phi _{0}^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))}
は
Φ
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
{\displaystyle \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))}
の 正 規 部 分 群 に な る [ 3 9 ] 。
Φ
0
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
{\displaystyle \Phi _{0}^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))}
を 制 限 ホ ロ ノ ミ ー 群 ︵ 英 : r e s t r i c t e d h o l o n o m y g r o u p ︶ と い う [ 3 9 ] 。
写 像
Ω
(
M
,
u
0
)
→
Φ
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
→
Φ
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
/
Φ
0
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
{\displaystyle \Omega (M,u_{0})\to \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))\to \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))/\Phi _{0}^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))}
は 基 本 群
π
1
(
M
,
u
0
)
{\displaystyle \pi _{1}(M,u_{0})}
か ら の 群 準 同 型 写 像
π
1
(
M
,
u
0
)
→
Φ
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
/
Φ
0
p
0
(
Ω
(
M
,
u
0
)
)
{\displaystyle \pi _{1}(M,u_{0})\to \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))/\Phi _{0}^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))}
を w e l l - d e f i n e d に 誘 導 す る 。 上 記 の 写 像 を カ ル タ ン 幾 何 学
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
の モ ノ ド ロ ミ ー 表 現 ︵ 英 : m o n o d r o m y r e p r e s e n t a t i o n o f
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
︶ と い う [ 3 9 ] 。
一般化円と測地線 [ 編集 ]
定 義 ― な ん ら か の
A
∈
g
{\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}}
に 対 し 、 定 数 ベ ク ト ル 場 ︵ 定 義 は 前 述 ︶
ω
−
1
(
A
)
{\displaystyle \omega ^{-1}(A )}
[ 注 9 ] の 積 分 曲 線 を
π
:
P
→
M
{\displaystyle \pi ~:~P\to M}
で M に 射 影 し た も の を M 上 の 一 般 化 円 [ 訳 語 疑 問 点 ] ︵ 英 : g e n e r a r i z e d c i r c l e ︶ と い う [ 3 9 ] 。
ま た
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
が
g
=
h
⊕
b
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}}
と 簡 約 可 能 な と き 、 な ん ら か の
A
∈
b
{\displaystyle A\in {\mathfrak {b}}}
に 対 し 、 定 数 ベ ク ト ル 場
ω
−
1
(
A
)
{\displaystyle \omega ^{-1}(A )}
の 積 分 曲 線 を
π
:
P
→
M
{\displaystyle \pi ~:~P\to M}
で M に 射 影 し た も の を M 上 の 測 地 線 ︵ 英 : g e o d e s i c ︶ と い う 。
特 に ク ラ イ ン 幾 何 学
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
に 対 し 、
G
/
H
{\displaystyle G/H}
上 の 一 般 化 円 は 、
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
の 元 の 1 - パ ラ メ ー タ ー 変 換 群 の 軌 跡 [ 注 1 8 ] [ 注 1 9 ] の
G
/
H
{\displaystyle G/H}
へ の 射 影 で あ る [ 3 9 ] 。 よ っ て ﹁ 一 般 化 円 ﹂ と い う 名 称 で あ る が 、 ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 で の ﹁ 一 般 化 円 ﹂ は 螺 旋 に な る 事 も あ る の で 注 意 さ れ た い [ 注 2 0 ]
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
が
g
=
h
⊕
b
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}}
と 簡 約 可 能 な と き 、
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
に 属 す る 元 の G 上 の 1 - パ ラ メ ー タ ー 変 換 群 の 軌 跡 [ 注 1 8 ] の
G
/
H
{\displaystyle G/H}
へ の 射 影 を 直 線 ︵ 英 : s t r a i g h t l i n e ︶ と い う 。
こ の 事 実 を 使 う と 、 一 般 化 円 と 測 地 線 は 以 下 の よ う に 言 い 換 え る 事 が で き る ‥
定 理 ―
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を モ デ ル と す る ク ラ イ ン 幾 何 学 の 定 義 さ れ た 多 様 体 M 上 の 曲 線 が 一 般 化 円 に な る 必 要 十 分 条 件 は 、 そ の 一 般 化 円 の 発 展 が
G
/
H
{\displaystyle G/H}
上 の 一 般 化 円 に な る 事 で あ る 。
同 様 に
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
が
g
=
h
⊕
b
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}}
と 簡 約 可 能 な と き 、
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
が M 上 の 測 地 線 ︵ 英 : g e o d e s i c ︶ と な る 必 要 十 分 条 件 は 、
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
の 発 展
c
~
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {c}}(t )}
が
G
/
H
{\displaystyle G/H}
上 の 直 線 で あ る 事 で あ る [ 3 9 ] 。
前 述 し た よ う に 、
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
が 簡 約 可 能 な と き は 、 TM 上 に ア フ ィ ン 接 続 ∇ が 定 義 で き る の で 、
∇
d
t
d
d
t
c
=
0
{\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}{\tfrac {d}{dt}}c=0}
と な る 曲 線 を 測 地 線 と し て 定 義 す る 事 も で き る 。 こ の 2 つ の 測 地 線 の 定 義 は 同 値 で あ る 。
証明
証 明 に 入 る 前 に ま ず 記 号 を 整 理 し 、 簡 単 な 考 察 を す る 。 H を 構 造 群 と す る 主 バ ン ド ル
P
{\displaystyle P}
を 、 TM 上 の H - フ レ ー ム バ ン ド ル
F
H
{\displaystyle F_{H}}
と 自 然 に 同 一 視 す る 。
各
e
∈
F
H
(
T
M
)
≈
P
{\displaystyle e\in F_{H}(TM )\approx P}
に 対 し 、
ω
:
T
p
F
H
(
T
M
)
→
g
{\displaystyle \omega ~:~T_{p}F_{H}(TM )\to {\mathfrak {g}}}
が 同 型 だ っ た の で 、 自 然 に
T
F
H
≈
F
H
×
g
{\displaystyle TF_{H}\approx F_{H}\times {\mathfrak {g}}}
と み な せ る 。 こ れ を 写 像
ρ
:
g
→
g
/
h
≈
b
{\displaystyle \rho ~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx {\mathfrak {b}}}
と あ わ せ る と 可 換 図 式
T
F
H
≈
F
H
×
g
π
∗
↓
↻
ρ
↓
T
M
≈
F
H
×
H
b
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}TF_{H}&\approx &F_{H}\times {\mathfrak {g}}\\\pi _{*}\downarrow &\circlearrowright &\rho \downarrow \\TM&\approx &F_{H}\times _{H}{\mathfrak {b}}\end{array}}}
が 描 け 、
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
に ベ ク ト ル 空 間 と し て の 基 底 を f i x し て
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
の 元 を
v
=
(
v
1
,
…
,
v
m
)
{\displaystyle v=(v^{1},\ldots ,v^{m})}
と 書 く と 、
e
=
(
e
1
,
…
,
e
m
)
∈
F
H
{\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{m})\in F_{H}}
と v の 組
[
e
,
v
]
∈
F
H
×
H
b
{\displaystyle [e,v]\in F_{H}\times _{H}{\mathfrak {b}}}
に 対 応 す る TM の 元 は
∑
i
v
i
e
i
{\displaystyle \textstyle \sum _{i}v^{i}e_{i}}
で あ る 。
∇ は
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
が 誘 導 す る ア フ ィ ン 接 続 で あ っ た の で 、 以 上 の こ と か ら M 上 の 曲 線
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
上 の F H の 切 断
e
(
t
)
=
(
e
1
(
t
)
,
…
,
e
m
(
t
)
)
{\displaystyle e(t )=(e_{1}(t ),\ldots ,e_{m}(t ))}
が
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
に 関 し て 平 行 で あ る 必 要 十 分 条 件 は 、
e
(
t
)
=
(
e
1
(
t
)
,
…
,
e
m
(
t
)
)
{\displaystyle e(t )=(e_{1}(t ),\ldots ,e_{m}(t ))}
を TM の 基 底 と み な し た と き 、
e
(
t
)
=
(
e
1
(
t
)
,
…
,
e
m
(
t
)
)
{\displaystyle e(t )=(e_{1}(t ),\ldots ,e_{m}(t ))}
が ∇ に 関 し て 平 行 な 基 底 で あ る 事 で あ る 。
︵
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
︶ M 上 の 曲 線
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
が カ ル タ ン 幾 何 学 に お け る 測 地 線 の 定 義 を 満 た せ ば 、 測 地 線
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
は な ん ら か の
B
∈
b
{\displaystyle B\in {\mathfrak {b}}}
と な ん ら か の
e
=
(
e
1
,
…
,
e
m
)
∈
F
H
(
T
M
)
{\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{m})\in F_{H}(TM )}
を 使 っ て
c
(
t
)
=
π
(
e
(
t
)
)
{\displaystyle c(t )=\pi (e(t ))}
w h e r e
e
(
t
)
=
exp
(
t
ω
−
1
(
B
)
)
(
e
)
∈
F
H
{\displaystyle e(t )=\exp(t\omega ^{-1}(B ))(e )\in F_{H}}
と 書 け る の で 、 前 述 の 可 換 図 式 か ら
d
c
d
t
(
t
)
∈
T
M
≈
[
e
(
t
)
,
B
]
∈
F
H
×
H
b
{\displaystyle {dc \over dt}(t )\in TM\approx [e(t ),B]\in F_{H}\times _{H}{\mathfrak {b}}}
で あ る 。 基 底
e
(
t
)
{\displaystyle e(t )}
は
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
に 沿 っ て 平 行 な の で 、
d
c
d
t
{\displaystyle {\tfrac {dc}{dt}}}
も
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
に 沿 っ て 平 行 で あ り 、 こ れ は
∇
d
t
d
d
t
c
=
0
{\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}{\tfrac {d}{dt}}c=0}
と な る 事 を 意 味 す る 。
︵
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
︶ M 上 の 曲 線
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
が 通 常 の 意 味 で の 測 地 線 、 す な わ ち
∇
d
t
d
d
t
c
=
0
{\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}{\tfrac {d}{dt}}c=0}
で あ れ ば 、
d
c
d
t
{\displaystyle {\tfrac {dc}{dt}}}
は
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
に 沿 っ て 平 行 で あ る 。 よ っ て 基 底
e
(
t
)
=
(
e
1
(
t
)
,
…
,
e
m
(
t
)
)
{\displaystyle e(t )=(e_{1}(t ),\ldots ,e_{m}(t ))}
を
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
に 沿 っ て 平 行 な よ う に 選 ぶ と 、
d
c
d
t
(
t
)
∈
T
M
≈
[
e
(
t
)
,
B
]
∈
F
H
×
H
b
{\displaystyle {dc \over dt}(t )\in TM\approx [e(t ),B]\in F_{H}\times _{H}{\mathfrak {b}}}
と な る
B
∈
b
{\displaystyle B\in {\mathfrak {b}}}
が 存 在 す る 。 し た が っ て
c
(
t
)
=
π
(
e
(
t
)
)
{\displaystyle c(t )=\pi (e(t ))}
w h e r e
e
(
t
)
=
exp
(
t
ω
−
1
(
B
)
)
(
e
)
∈
F
H
{\displaystyle e(t )=\exp(t\omega ^{-1}(B ))(e )\in F_{H}}
と 書 け る 。
クライン幾何学との関係 [ 編集 ]
カ ル タ ン 幾 何 学 は ク ラ イ ン 幾 何 学 を モ デ ル と し て お り 、 し か も ︵ 局 所 ︶ ク ラ イ ン 幾 何 学 は カ ル タ ン 幾 何 学 と し て 平 坦 ︵ 英 : f l a t ︶ 、 す な わ ち 曲 率 が 恒 等 的 に 0 で あ る 事 を 前 述 し た 。
本 章 は こ の 逆 向 き に つ い て 述 べ る 。 す な わ ち 平 坦 な カ ル タ ン 幾 何 学 が い か な る 条 件 を 満 た せ ば 局 所 ク ラ イ ン 幾 何 学 と 等 し い か を 特 定 す る の が 本 章 の 目 標 で あ る 。
ダ ル ブ ー 導 関 数 の 一 般 論 か ら 、 以 下 が 従 う ‥
定 理 ―
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を 対 応 す る リ ー 代 数 の 組
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
が 効 果 的 な ク ラ イ ン 幾 何 学 と す る 。 M を 多 様 体 と し 、
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を モ デ ル と す る M 上 の カ ル タ ン 幾 何 学 と す る 。
こ の と き 、 M の 普 遍 被 覆 空 間
q
:
M
~
→
M
{\displaystyle q^{:}~{\tilde {M}}\to M}
に 主 バ ン ド ル
π
:
P
→
M
{\displaystyle \pi ~:~P\to M}
と カ ル タ ン 接 続 ω を 引 き 戻 し た も の を そ れ ぞ れ
π
~
:
P
~
→
M
~
{\displaystyle {\tilde {\pi }}~:~{\tilde {P}}\to {\tilde {M}}}
、
ω
~
{\displaystyle {\tilde {\omega }}}
と す る 。
こ の と き
(
π
~
,
P
~
,
ω
~
)
{\displaystyle ({\tilde {\pi }},{\tilde {P}},{\tilde {\omega }})}
は
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
上 の
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を モ デ ル と す る カ ル タ ン 幾 何 学 と な り 、 局 所 幾 何 学 的 同 型
(
f
,
f
¯
)
:
(
M
~
,
P
~
)
→
(
G
/
H
,
G
)
{\displaystyle (f,{\bar {f}})~:~({\tilde {M}},{\tilde {P}})\to (G/H,G)}
が 存 在 す る [ 4 2 ] 。
よ っ て 特 に 、 M の 点 u の 十 分 小 さ い 開 近 傍
U
{\displaystyle U}
を 取 り 、
U
{\displaystyle U}
上 に
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を 制 限 し た
(
π
|
U
,
P
U
,
ω
U
)
{\displaystyle (\pi |_{U},P_{U},\omega _{U})}
は ︵ U の
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
へ の リ フ ト を 考 え る こ と で ︶ 局 所 幾 何 学 的 同 型
(
U
,
P
U
)
→
(
G
/
H
,
G
)
{\displaystyle (U,P_{U})\to (G/H,G)}
を 持 つ こ と が 分 か る [ 4 3 ] 。
こ の よ う に 被 覆 空 間 を 考 え た り 、 あ る い は 各 点 の 開 近 傍 に 制 限 し た り す れ ば 、 平 坦 な カ ル タ ン 幾 何 学 が ク ラ イ ン 幾 何 学 に 局 所 幾 何 学 的 同 型 で あ る 事 を 示 す 事 が で き る 。 し か し こ れ だ け で は M 自 身 が ︵ 局 所 ︶ ク ラ イ ン 幾 何 学 と 幾 何 学 的 同 型 に な る か 否 か は わ か ら な い 。
そ こ で 本 章 で は ま ず M 自 身 が 局 所 ク ラ イ ン 幾 何 学 と 幾 何 学 的 同 型 に な る 条 件 を 定 式 化 し 、 次 に こ れ ら の 条 件 を 満 た す 平 坦 な カ ル タ ン 幾 何 学 が 局 所 ク ラ イ ン 幾 何 学 と 幾 何 学 同 型 に な る 事 を 見 る 。
本 節 で は 平 坦 な カ ル タ ン 幾 何 学 が 局 所 ク ラ イ ン 幾 何 学 と 同 型 で あ る た め の 条 件 で あ る ﹁ 幾 何 学 的 向 き 付 け 可 能 性 ﹂ と ﹁ 完 備 性 ﹂ を 定 義 す る 。
幾 何 学 的 向 き [ 編 集 ]
幾 何 学 的 向 き を 定 義 す る た め 、 ま ず 記 号 を 導 入 す る 。 M を 多 様 体 と し 、
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
を モ デ ル 幾 何 学 と す る M 上 の カ ル タ ン 幾 何 学 と し 、 G を
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
に 対 応 す る リ ー 群 の 一 つ と す る と 、 そ の 随 伴 表 現
A
d
:
G
→
G
L
L
i
e
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} ~:G~\to \mathrm {GL} _{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})}
は リ ー 群 間 の 写 像 な の で [ 注 2 1 ] 、 対 応 す る リ ー 代 数 間 の 写 像
a
d
:=
A
d
∗
:
g
→
g
l
L
i
e
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {ad} :=\mathrm {Ad} _{*}~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}_{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})}
を 誘 導 す る 。 ad は リ ー 代 数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
に 対 応 す る リ ー 群 G の 取 り 方 に よ ら ず w e l l - d e f i n e d で あ り 、
a
d
(
A
)
(
B
)
=
[
A
,
B
]
{\displaystyle \mathrm {ad} (A )(B )=[A,B]}
が 成 立 す る [ 4 4 ] 。 ad と カ ル タ ン 接 続 の 合 成
a
d
∘
ω
:
T
P
→
g
l
L
i
e
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {ad} \circ \omega ~:~TP\to {\mathfrak {gl}}_{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})}
を 考 え 、 以 下 の 定 義 を す る ‥
定理・定義 ― P が連結であれば幾何学的向き付けの定義はp に依存しない[45] 。P が連結なとき、幾何学的向き付け可能なH の元全体の集合を
H
o
r
{\displaystyle H_{\mathrm {or} }}
と書く[45] 。
ad の 定 義 よ り 、 曲 線
φ
(
t
)
{\displaystyle \varphi (t )}
が P の フ ァ イ バ ー
P
π
(
p
)
{\displaystyle P_{\pi (p )}}
内 に あ れ ば 、 そ の 発 展
φ
~
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {\varphi }}(t )}
の 終 点 は 必 ず
A
d
(
h
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} (h )}
に な る 。 よ っ て
H
e
{\displaystyle H_{e}}
を 単 位 元 e を 含 む H の 連 結 成 分 と す る と
H
e
⊂
H
o
r
{\displaystyle H_{e}\subset H_{\mathrm {or} }}
が 成 立 す る 。
し か し 上 記 の 定 義 は 曲 線
φ
(
t
)
{\displaystyle \varphi (t )}
が フ ァ イ バ ー
P
π
(
p
)
{\displaystyle P_{\pi (p )}}
内 に 収 ま る 事 は 仮 定 し て お ら ず 、 よ っ て 一 般 に は H or の 方 が H e よ り 大 き い こ と も あ る 。 な お 、 P が 連 結 で あ れ ば 、 H or は H の 正 規 部 分 群 に な る 事 が 知 ら れ て い る [ 4 5 ] 。
定 義 ― M を 多 様 体 と し 、
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
を モ デ ル 幾 何 学 と す る M 上 の カ ル タ ン 幾 何 学 で P が 連 結 で あ る も の す る [ 注 2 3 ] 。
● H - バ ン ド ル P が H or - 部 分 主 バ ン ド ル を 持 つ と き 、
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
は 幾 何 学 的 に 向 き 付 け 可 能 ︵ 英 : g e o m e t r i c a l l y o r i e n t a b l e ︶ で あ る と い う [ 4 6 ]
● P の H or - 部 分 主 バ ン ド ル ︵ も し あ れ ば ︶ を P の 幾 何 学 的 向 き ︵ 英 : g e o m e t r i c a l l y o r i e n t a t i o n ︶ と い う [ 4 6 ] 。
●
M
o
r
:=
P
/
H
o
r
{\displaystyle M_{\mathrm {or} }:=P/H_{\mathrm {or} }}
を M の 幾 何 学 的 向 き 付 け 被 覆 ︵ 英 : g e o m e t r i c a l l y o r i e n t a t i o n c o v e r ︶ と い う [ 4 6 ] 。
●
H
=
H
o
r
{\displaystyle H=H_{\mathrm {or} }}
の と き 、 カ ル タ ン 幾 何 学
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
は 幾 何 学 的 に 向 き 付 け ら れ て い る ︵ 英 : g e o m e t r i c a l l y o r i e n t e d ︶ と い う [ 4 6 ] 。
次が成立する:
定義 ― 局所クライン幾何学
(
G
,
H
,
Γ
)
{\displaystyle (G,H,\Gamma )}
(に定まるクライン幾何学)は、G が連結なら幾何学的向き付け可能である[46] [注 24] 。
完備性 [ 編集 ]
M を多様体とし、
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
をモデル幾何学とするM 上のカルタン幾何学とする。
定理 ― 局所クライン幾何学
(
G
,
H
,
Γ
)
{\displaystyle (G,H,\Gamma )}
(に対応するカルタン幾何学)は完備である。
定式化 [ 編集 ]
完備かつ平坦で幾何学的に向き付可能なカルタン幾何学は局所クライン幾何学と幾何学的同型になる:
定 義 ― M を 連 結 な 多 様 体 と し 、
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
を モ デ ル 幾 何 学 と し 、
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を M 上 の
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
を モ デ ル と す る 平 坦 か つ 完 備 で 幾 何 学 的 に 向 き 付 け ら れ た カ ル タ ン 幾 何 学 と す る 。
こ の と き 、
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
を リ ー 代 数 と す る 連 結 な リ ー 群 G で H を 閉 部 分 群 と し て 含 む も の と 、 G の 部 分 群 Γ で 局 所 ク ラ イ ン 幾 何 学
Γ
∖
G
/
H
{\displaystyle \Gamma \backslash G/H}
と そ の 上 の カ ル タ ン 幾 何 学 構 造
(
Γ
∖
G
,
ω
Γ
∖
G
)
{\displaystyle (\Gamma \backslash G,\omega ^{\Gamma \backslash G})}
が M と そ の 上 の カ ル タ ン 幾 何 学
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
と 幾 何 学 的 同 型 に な る [ 4 8 ] [ 注 2 1 ] 。
な お 、 す で に 見 た よ う に 局 所 ク ラ イ ン 幾 何 学 は 平 坦 か つ 完 備 で あ り 、 し か も G が 連 結 で あ れ ば 局 所 ク ラ イ ン 幾 何 学 は カ ル タ ン 幾 何 学 と し て 向 き 付 け 可 能 で あ る の で 、 連 結 な G を 考 え る 場 合 は 、 こ れ 以 上 条 件 を 減 ら す 事 は で き な い 。
な お 、 G を 固 定 す る と 、 上 述 の 定 理 が 存 在 を 保 証 す る Γ は 共 役 を 除 い て 一 意 に 定 ま る ‥
定 義 ―
M
1
=
Γ
1
∖
G
/
H
{\displaystyle M_{1}=\Gamma _{1}\backslash G/H}
、
M
2
=
Γ
2
∖
G
/
H
{\displaystyle M_{2}=\Gamma _{2}\backslash G/H}
を
(
G
,
H
)
{\displaystyle (G,H)}
を モ デ ル に 持 つ 2 つ の 局 所 ク ラ イ ン 幾 何 学 と す る 。
こ の と き 、 M 1 と M 2 が ク ラ イ ン 幾 何 学 と し て 幾 何 学 的 同 型 で あ れ ば 、 あ る
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
が 存 在 し 、
Γ
2
=
g
Γ
1
g
−
1
{\displaystyle \Gamma _{2}=g\Gamma _{1}g^{-1}}
で あ り 、 し か も M 1 と M 2 は g の 左 か ら の 作 用
L
g
:
G
→
G
{\displaystyle L_{g}~:~G\to G}
か ら 誘 導 さ れ る [ 4 9 ] 。
ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学 [ 編集 ]
本章ではモデル幾何学がユークリッド幾何学の場合を考える。すなわち、モデルとするクライン幾何学がユークリッド空間
E
m
{\displaystyle \mathbb {E} ^{m}}
上の等長変換群
I
s
o
(
E
m
)
{\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})}
と直交群
O
(
m
)
{\displaystyle O(m)}
の組
(
G
,
H
)
=
(
I
s
o
(
E
m
)
,
O
(
m
)
)
{\displaystyle (G,H)=(\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m}),O(m))}
である場合の、多様体M 上のカルタン幾何学
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
を考える。
標準的な計量 [ 編集 ]
本節では以下の定理を示す:
こ れ を 示 す た め 、
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
の 性 質 を 調 べ る 。
I
s
o
(
E
m
)
{\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})}
は 随 伴 表 現 Ad に よ り
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
に 作 用 す る が 、
I
s
o
(
E
m
)
=
O
(
m
)
⋉
R
m
{\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})=O(m )\ltimes \mathbb {R} ^{m}}
に お け る
O
(
m
)
{\displaystyle O(m )}
は 原 点 を 中 心 と す る 回 転 と し て 、
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
は 平 行 移 動 と し て
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
に 作 用 す る 事 を 簡 単 な 計 算 に よ り 確 か め ら れ る 。
よ っ て
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
上 に は
O
(
m
)
{\displaystyle O(m )}
に よ り 不 変 な 内 積
q
:
g
/
h
×
g
/
h
→
R
{\displaystyle q~:~{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to \mathbb {R} }
が 定 数 倍 を 除 い て 一 意 に 定 ま る 。 前 述 し た よ う に
T
M
≈
T
P
×
H
,
A
d
g
/
h
{\displaystyle TM\approx TP\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
で あ る の で 、
p
∈
P
{\displaystyle p\in P}
に 対 し 、 写 像
φ
p
:
ξ
∈
g
/
h
→
[
(
p
,
ξ
)
]
∈
T
P
×
H
,
A
d
g
/
h
≈
T
M
{\displaystyle \varphi _{p}~:~\xi \in {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to [(p,\xi )]\in TP\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx TM}
が 定 義 で き る 。
そ こ で
u
∈
M
{\displaystyle u\in M}
に 対 し T u M の 計 量 を
p
∈
P
u
{\displaystyle p\in P_{u}}
を 任 意 に 選 ん で
g
u
(
v
,
w
)
:=
q
(
φ
p
−
1
(
v
)
,
φ
p
−
1
(
w
)
)
{\displaystyle g_{u}(v,w):=q(\varphi _{p}{}^{-1}(v ),\varphi _{p}{}^{-1}(w ))}
f o r
v
,
w
∈
T
u
M
{\displaystyle v,w\in T_{u}M}
に よ り 定 義 す る と
g
u
(
v
,
w
)
{\displaystyle g_{u}(v,w)}
が
p
∈
P
u
{\displaystyle p\in P_{u}}
に よ ら ず w e l l - d e f i n e d さ れ る 事 が 知 ら れ て お り [ 5 0 ] 、 M 上 に リ ー マ ン 計 量 g が 定 ま る 。
ア フ ィ ン 接 続 [ 編 集 ]
I
s
o
(
E
m
)
=
O
(
m
)
⋉
R
m
{\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})=O(m )\ltimes \mathbb {R} ^{m}}
と 半 直 積 で 書 け る の で 、 リ ー 代 数 の 組
(
g
,
h
)
=
(
i
s
o
(
E
m
)
,
o
(
m
)
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})=({\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{m}),{\mathfrak {o}}(m ))}
は
b
=
R
m
{\displaystyle {\mathfrak {b}}=\mathbb {R} ^{m}}
を 使 っ て 簡 約 可 能 で あ り 、 し か も
(
G
,
H
)
=
(
I
s
o
(
E
m
)
,
O
(
m
)
)
{\displaystyle (G,H)=(\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m}),O(m ))}
は 一 階 で あ る 。
よ っ て 前 述 の よ う に カ ル タ ン 接 続 ω を ﹁
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
部 分 ﹂ と ﹁
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
部 分 ﹂ に 分 け て
ω
=
ω
h
+
ω
b
{\displaystyle \omega =\omega _{\mathfrak {h}}+\omega _{\mathfrak {b}}}
と 書 く こ と が で き 、
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
は 主 バ ン ド ル P 上 の 接 続 形 式 に な り 、
ω
b
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}}
が 標 準 形 式 と な る 。 逆 に
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
と
ω
b
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}}
か ら ω が 復 元 で き る 事 も す で に 示 し た 。
接 続 形 式
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
が TM に 誘 導 す る ア フ ィ ン 接 続
∇
{\displaystyle \nabla }
を 定 義 す る 事 が で き 、
∇
{\displaystyle \nabla }
は 以 下 を 満 た す ‥
定 理 ―
∇
{\displaystyle \nabla }
は 標 準 的 な 計 量 と 両 立 す る 。 す な わ ち 前 節 で 定 義 し た 標 準 的 な リ ー マ ン 計 量 g に 対 し 、
X
(
g
(
Y
,
Z
)
)
=
g
(
∇
X
Y
,
Z
)
+
g
(
Y
,
∇
X
Z
)
{\displaystyle X(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}
が M 上 の 任 意 の ベ ク ト ル 場 X 、 Y 、 Z に 対 し て 成 立 す る 。
略証
す で に 述 べ た よ う に TM は
O
(
m
)
{\displaystyle O(m )}
- 主 バ ン ド ル P を 使 っ て
T
M
≈
P
×
H
g
/
h
{\displaystyle TM\approx P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
と 書 け 、 し か も P は
O
(
m
)
{\displaystyle O(m )}
- フ レ ー ム バ ン ド ル と し て 解 釈 で き た の で 、 以 下 P を フ レ ー ム バ ン ド ル と み な し た も の を F と 書 く 。 前 述 し た 計 量 の 作 り 方 か ら 計 量 g は F の 元 を 正 規 直 交 基 底 に す る 。
一 方
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
は
h
=
o
(
m
)
=
{
{\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {o}}(m )=\{}
歪 対 称 行 列
}
{\displaystyle \}}
に 値 を 取 る の で 、 ︵ F に 属 す る ︶ 正 規 直 交 基 底 に お い て 接 続 形 式
ω
h
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
を
ω
h
=
(
ω
i
j
)
i
j
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}=(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}}
と 成 分 表 示 す る と 、
ω
i
j
=
−
ω
j
i
{\displaystyle \omega ^{i}{}_{j}=-\omega ^{j}{}_{i}}
が 成 立 す る 。 よ っ て TM の 局 所 的 な 正 規 直 交 基 底
e
1
,
…
,
e
m
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}
を 取 る と 、
g
(
∇
X
e
j
,
e
k
)
=
∑
i
g
(
ω
i
j
(
X
)
e
i
,
e
k
)
=
∑
i
ω
i
j
(
X
)
g
(
e
i
,
e
k
)
=
ω
k
j
(
X
)
{\displaystyle g(\nabla _{X}e_{j},e_{k})=\sum _{i}g(\omega ^{i}{}_{j}(X )e_{i},e_{k})=\sum _{i}\omega ^{i}{}_{j}(X )g(e_{i},e_{k})=\omega ^{k}{}_{j}(X )}
が 成 立 す る ︵ 最 後 の 等 式 は
i
=
k
{\displaystyle i=k}
の と き の み
g
(
e
i
,
e
k
)
=
1
{\displaystyle g(e_{i},e_{k})=1}
な 事 を 使 っ た ︶ 。 よ っ て
g
(
∇
X
e
j
,
e
k
)
+
g
(
e
j
,
∇
X
e
k
)
=
ω
k
j
(
X
)
+
ω
j
k
(
X
)
=
0
=
X
g
(
e
j
,
e
k
)
{\displaystyle g(\nabla _{X}e_{j},e_{k})+g(e_{j},\nabla _{X}e_{k})=\omega ^{k}{}_{j}(X )+\omega ^{j}{}_{k}(X )=0=Xg(e_{j},e_{k})}
が 成 立 す る の で 、
Y
=
e
j
{\displaystyle Y=e_{j}}
、
Z
=
e
k
{\displaystyle Z=e_{k}}
の 場 合 に 定 理 が 示 さ れ た 。 一 般 の 場 合 は 、 上 式 か ら 簡 単 な 計 算 に よ り 従 う 。
し か し
∇
{\displaystyle \nabla }
の 捩 率 は 0 と は 限 ら な い [ 5 1 ] 。 も し
∇
{\displaystyle \nabla }
の 捩 率 が 0 で あ れ ば [ 注 2 7 ] リ ー マ ン 幾 何 学 の 基 本 定 理 よ り 、
∇
{\displaystyle \nabla }
は レ ヴ ィ ・ チ ヴ ィ タ 接 続 に 一 致 す る 。
以 上 の 考 察 か ら 、 カ ル タ ン 幾 何 学 の 立 場 か ら 見 る と リ ー マ ン 幾 何 学 と は 、 ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 を モ デ ル と す る カ ル タ ン 幾 何 学 で 捩 率 が 0 の も の と し て ︵ 計 量 の 定 数 倍 を 除 き ︶ 特 徴 づ け ら れ る 幾 何 学 で あ る 。
リ ー マ ン 多 様 体 の 発 展 [ 編 集 ]
上 述 の よ う に リ ー マ ン 多 様 体 に は ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学
(
G
,
H
)
=
(
I
s
o
(
E
m
)
,
O
(
m
)
)
{\displaystyle (G,H)=(\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m}),O(m ))}
を モ デ ル と す る 捩 れ の な い カ ル タ ン 幾 何 学
(
π
,
P
,
ω
)
{\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
の 構 造 が 入 る 。
滑 り と ね じ れ の な い 転 が し ︵ 再 掲 ︶
m 次 元 リ ー マ ン 多 様 体 M 上 に 曲 線
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
を 取 り ︵ 図 の 青 の 線 ︶ 、
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
に 沿 っ て M を m 次 元 平 面
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
上 を ﹁ 滑 っ た り ﹂ ﹁ ね じ れ た り ﹂ す る こ と な く 転 が し た [ 注 2 8 ] と き に で き る 曲 線 の 軌 跡 を
c
~
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {c}}(t )}
と す る ︵ 図 の 紫 の 線 ︶ 。
こ の と き 、 次 が 成 立 す る こ と が 知 ら れ て い る ‥
定理 ―
記号を上述のように取る。このとき、
c
~
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {c}}(t)}
は等質空間
G
/
H
=
I
s
o
(
E
m
)
/
O
(
m
)
≈
R
m
{\displaystyle G/H=\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})/O(m)\approx \mathbb {R} ^{m}}
への発展に一致する[52] 。
ま た 、 M を m 次 元 平 面
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
上 滑 り も ね じ れ も な く 転 が す と 、 時 刻 t に
c
(
t
)
{\displaystyle c(t )}
が
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
に 接 し た 瞬 間 に
T
c
(
t
)
M
{\displaystyle T_{c(t )}M}
が
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
に 重 な る の で 、 自 然 に 写 像
φ
t
:
T
c
(
t
)
M
→
R
m
{\displaystyle \varphi _{t}~:~T_{c(t )}M\to \mathbb {R} ^{m}}
が 定 義 で き る 。 こ の 写 像 を 使 う と 、 M の レ ヴ ィ ・ チ ヴ ィ タ 接 続 ∇ の 幾 何 学 的 意 味 を 述 べ る こ と が で き る ‥
すなわち、曲線に沿った
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
の共変微分を
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
に移したものは、
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
を移したものを通常の意味で微分したものに一致する。
よって特に以下が成立する:
(一) ^ カ ル タ ン 幾 何 学 を 説 明 し た 日 本 語 の 文 献 が 見 つ か ら な か っ た の で 、 本 項 の 専 門 用 語 は い ず れ も 本 項 執 筆 者 が 暫 定 的 に 訳 し た も の で あ る 。
(二) ^ 厳 密 に は 、 M 上 の 人 と 同 一 視 で き る の は 、 基 底 が 右 手 系 の 場 合 だ け で 、 左 手 系 の 場 合 は そ の 人 を " 左 右 反 転 " す る 必 要 が あ る が 、 以 後 こ の 問 題 は 無 視 す る
(三) ^ こ の 定 義 で は
g
=
T
e
G
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}
と い う 同 一 視 を 用 い て い る 。 こ こ で e は G の 単 位 元 で あ る 。
(四) ^
G
~
{\displaystyle {\tilde {G}}}
を G の 被 覆 空 間 と す る と 、
G
~
{\displaystyle {\tilde {G}}}
と G は 同 型 な リ ー 代 数 を 持 つ 。
(五) ^ [ 1 7 ] で は Ad に こ れ 以 上 の 仮 定 を 課 し て い な い が 、 実 際 の 議 論 で は Ad が
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
に 対 応 す る リ ー 群 G の 随 伴 表 現
A
d
g
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{\mathfrak {g}}}
の
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
へ の 制 限 で あ る 事 を 用 い て い る の で 、 以 下 、 本 項 で も こ れ を 仮 定 す る 。 な お 、 随 伴 表 現
A
d
g
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{\mathfrak {g}}}
は
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
に 対 応 す る リ ー 群 G の 取 り 方 に 依 存 せ ず w e l l - d e f i n e d で あ る 。
(六) ^ # S h a r p e p . 1 7 4 に よ れ ば 、 こ の 仮 定 は 必 須 で は な い が 、 こ の 仮 定 を 外 し て も 特 に 得 ら れ る も の は な い と の 事 で あ る 。
(七) ^ ク ラ イ ン 幾 何 学 の 定 義 で は
G
/
H
{\displaystyle G/H}
が 連 結 な 事 を 仮 定 し て い た が 、 こ こ で そ れ は 仮 定 し な い [ 1 9 ]
(八) ^
Γ
↷
G
/
H
{\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H}
が 効 果 的 で な い と 、
G
/
H
{\displaystyle G/H}
の 各 フ ァ イ バ ー は
Γ
∖
H
{\displaystyle \Gamma \backslash H}
と 同 型 な も の に な っ て し ま う た め 、 H - 主 バ ン ド ル に な ら な い 。
(九) ^ a b ク ラ イ ン 幾 何 学 の 場 合 は M 上 の 左 不 変 ベ ク ト ル 場 に 相 当 す る [ 4 1 ] 。
(十) ^ ﹁ 捩 率 ﹂ と い う 言 葉 に は ア フ ィ ン 接 続 の ﹁ 捩 率 ﹂ と 曲 線 の ﹁ 捩 率 ﹂ と い う 2 つ の 異 な る 意 味 が あ る が 、 こ こ で い う 捩 率 は 前 者 に 相 当 す る も の で あ る 。 ア フ ィ ン 接 続 の 捩 率 と の 関 係 は 後 述 す る 。
(11) ^ カ ル タ ン 幾 何 学 が 一 階 で あ る 事 を 利 用 し て い る の は
p
∈
P
→
e
p
∈
F
{\displaystyle p\in P\to e^{p}\in F}
の 単 射 性 を 保 証 す る 部 分 だ け で あ り 、 そ れ 以 外 の 部 分 は 一 階 で な く て も 成 立 す る 。
(12) ^ な お 、 リ ー 代 数 の 分 野 で は 、
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
が 半 単 純 な イ デ ア ル と ア ー ベ ル な イ デ ア ル の 直 和 で 書 け る と き に
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
は 簡 約 可 能 で あ る と 呼 ぶ が 、 本 項 で 挙 げ た 定 義 は こ の 簡 約 可 能 性 と は 別 概 念 で あ る [ 3 1 ] 。 な お 、
a
d
:
h
→
G
L
(
g
/
h
)
{\displaystyle \mathrm {ad} ~:~{\mathfrak {h}}\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})}
が 単 射 で 、 し か も
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
が こ の 意 味 で 簡 約 可 能 で あ れ ば 、
(
g
,
h
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
は 本 項 の 意 味 で 簡 約 可 能 で あ る [ 3 1 ] 。
(13) ^ な お 、 # S h a r p e p p . 3 6 4 - 3 6 5 . は ﹁ 接 続 形 式 ⇒ カ ル タ ン 接 続 ﹂ の 方 で は
[
b
,
b
]
=
0
{\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=0}
を 仮 定 し て い る が 、 証 明 を 読 め ば 分 か る よ う に 、 実 際 に は こ の 仮 定 は 必 要 な い 。 # S h a r p e も p . 3 6 2 . の 定 理 の ス テ ー ト メ ン ト で は こ の 仮 定 に 触 れ て お ら ず 、 単 な る ミ ス と 思 わ れ る 。 ま た # S h a r p e も p . 3 6 2 . で は カ ル タ ン 形 式 を
ω
=
(
0
0
θ
γ
)
{\displaystyle \omega ={\begin{pmatrix}0&0\\\theta &\gamma \end{pmatrix}}}
と 表 記 し て い る が 、 こ の 形 に 書 け る の は ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 ︵ も し く は よ り 一 般 に ア フ ィ ン 幾 何 学 ︶ を モ デ ル 幾 何 学 と し て い る 場 合 で あ り 、 一 般 の 簡 約 可 能 な モ デ ル 幾 何 学 の 場 合 は 必 ず し も こ の 形 に 書 け な い の で 、 こ こ も ミ ス と 判 断 し た 。
(14) ^ な お こ の 式 の 右 辺 は 文 献 [ 3 5 ] で は 、 X の 水 平 リ フ ト を Y と し て
Y
f
s
{\displaystyle Yf_{s}}
と し て い る が 、 こ れ は 本 項 で 挙 げ た
D
ω
b
(
X
~
)
f
s
{\displaystyle D_{\omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})}f_{s}}
に 等 し い 。 理 由 は 以 下 の 通 り で あ る 。 ま ず 普 遍 共 変 微 分 の 定 義 よ り
Y
f
s
=
D
ω
(
Y
)
f
s
{\displaystyle Yf_{s}=D_{\omega (Y )}f_{s}}
で あ り 、 水 平 リ フ ト ︵ 詳 細 は 接 続 ( フ ァ イ バ ー 束 ) を 参 照 ︶ と は
π
∗
(
Y
)
=
X
{\displaystyle \pi _{*}(Y )=X}
と な る Y の 中 で
ω
h
(
Y
)
=
0
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}(Y )=0}
と な る も の の こ と で あ る 。
そ し て 本 項 の
X
~
{\displaystyle {\tilde {X}}}
も
π
∗
(
X
~
)
=
X
{\displaystyle \pi _{*}({\tilde {X}})=X}
と な り 、 し か も
ω
(
X
~
)
=
ω
h
(
X
~
)
+
ω
b
(
X
~
)
{\displaystyle \omega ({\tilde {X}})=\omega _{\mathfrak {h}}({\tilde {X}})+\omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})}
の う ち 水 平 成 分 の
ω
b
(
X
~
)
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})}
方 向 の み を 考 え て い る の で 、
ω
b
(
X
~
)
=
ω
(
Y
)
{\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})=\omega (Y )}
。 以 上 の こ と か ら
Y
f
s
=
D
ω
(
Y
)
f
s
=
D
ω
b
(
X
)
f
s
{\displaystyle Yf_{s}=D_{\omega (Y )}f_{s}=D_{\omega _{\mathfrak {b}}(X )}f_{s}}
で あ る 。
(15) ^
な お 、
u
∈
M
{\displaystyle u\in M}
に 対 し
π
(
p
)
=
u
{\displaystyle \pi (p )=u}
と な る p は 複 数 あ る た め 、
X
~
{\displaystyle {\tilde {X}}}
と し て ど の p に お け る 接 ベ ク ト ル を 取 る か の 自 由 度 が あ る が 、 ど の p に お け る 接 ベ ク ト ル を 選 ん で も 結 果 は 変 わ ら な い 。
(16) ^ こ こ で は # S h a r p e p . 2 0 9 . に あ わ せ て ﹁ 曲 線
φ
{\displaystyle \varphi }
の 発 展 ﹂ と い う 言 い 方 に し た が 、 同 書 p . 1 1 9 . で は 同 じ 概 念 を ﹁
ω
{\displaystyle \omega }
の 発 展 ﹂ ︵ 英 : d e v e l o p m e n t o f ω a l o n g
φ
{\displaystyle \varphi }
s t a r t i n g a t g ︶ と い う 言 い 方 を し て い る 。 前 者 が カ ル タ ン 幾 何 学 の 説 明 で あ る の に 対 し 、 後 者 は ダ ル ブ ー 導 関 数 の 説 明 に 関 す る も の で あ る 事 が 言 い 方 を 変 え て い る 理 由 で あ る と 思 わ れ る の で 、 こ こ で は 前 者 の 言 い 方 を 採 用 し た 。
(17) ^ 文 献 [ 3 9 ] で は
Φ
p
0
{\displaystyle \Phi ^{p_{0}}}
の 定 義 域 を ル ー プ 空 間
Ω
(
M
,
u
0
)
{\displaystyle \Omega (M,u_{0})}
で は な く 基 本 群
π
1
(
M
,
u
0
)
{\displaystyle \pi _{1}(M,u_{0})}
と し て い る が 、
Φ
{\displaystyle \Phi }
は ホ モ ト ピ ー 不 変 で は な い の で 、 定 義 域 は ル ー プ 空 間 で あ る と 判 断 。 な お 、 文 献 [ 4 0 ] で は 定 義 域 を 基 本 群 と し て い る が 、 こ れ は こ の 文 献 で は カ ル タ ン 幾 何 学 が 平 坦 な 事 を 仮 定 し て い る 為 、
Φ
{\displaystyle \Phi }
が ホ モ ト ピ ー 不 変 に な る か ら で あ る 。
(18) ^ a b す な わ ち 、
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
と
A
∈
g
=
T
e
G
{\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}=T_{e}G}
に 対 し 、 A を 通 る G 上 の 左 不 変 ベ ク ト ル 場
A
¯
{\displaystyle {\overline {A}}}
に よ る g か ら の 1 - パ ラ メ ー タ ー 変 換
exp
(
t
A
¯
)
(
g
)
∈
G
{\displaystyle \exp(t{\overline {A}})(g )\in G}
の 軌 跡 の 事 。
(19) ^ [ 3 9 ] に は ﹁ G の 元 の 1 - パ ラ メ ー タ ー 変 換 群 ﹂ と あ る が 1 - パ ラ メ ー タ ー 変 換 群 は リ ー 代 数 に 対 し て 定 義 す る も の な の で ﹁
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
の 元 の 1 - パ ラ メ ー タ ー 変 換 群 ﹂ の 誤 記 と 判 断 。
(20) ^ ユ ー ク リ ッ ド 空 間
E
m
{\displaystyle \mathbb {E} ^{m}}
の 合 同 変 換 群
I
s
o
(
E
m
)
=
O
(
m
)
⋉
R
m
{\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})=O(m )\ltimes \mathbb {R} ^{m}}
の リ ー 代 数
i
s
o
(
E
m
)
=
o
(
m
)
⋉
R
m
{\displaystyle {\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{m})={\mathfrak {o}}(m )\ltimes \mathbb {R} ^{m}}
か ら
A
∈
o
(
m
)
{\displaystyle A\in {\mathfrak {o}}(m )}
、
B
∈
R
m
{\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{m}}
を 選 び 、
A
+
B
{\displaystyle A+B}
の 積 分 曲 線 の
E
m
{\displaystyle \mathbb {E} ^{m}}
へ の 射 影 を 考 え る と 螺 旋 に な る 。
(21) ^ a b す で に 指 摘 し た よ う に 、 モ デ ル 幾 何 学
(
g
,
h
,
H
,
A
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
の Ad が
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
に 対 応 す る リ ー 群 G の 随 伴 表 現 で あ る 事 が 暗 に 仮 定 さ れ て い る 。
(22) ^ 発 展 の 定 義 は ω が カ ル タ ン 接 続 の 場 合 に 対 し て 与 え た が 、 一 般 に リ ー 代 数 に 値 を 取 る 1 - 形 式 に 対 し て も 同 様 に し て 発 展 の 存 在 一 意 性 を 示 す こ と が で き る の で 、 ﹁
a
d
∘
ω
{\displaystyle \mathrm {ad} \circ \omega }
に 関 す る 発 展 ﹂ と い う 言 葉 は 意 味 を 持 つ 。 一 般 の 場 合 の 定 理 の ス テ ー ト メ ン ト は ダ ル ブ ー 導 関 数 の 項 目 を 参 照 。
(23) ^ 文 献 [ 4 6 ] で は P の 連 結 を 明 示 的 に は 仮 定 し て い な い が 、 P が 連 結 で は な い と H or の 定 義 が 基 点 に 依 存 し て し ま う た め 、 暗 に 仮 定 さ れ て い る と 判 断 し た 。
(24) ^ 文 献 [ 4 6 ] の ス テ ー ト メ ン ト で は G の 連 結 性 を 明 示 し て い な い が 、 証 明 中 で G の 連 結 性 を 使 っ て い る た め 、 連 結 性 を 明 記 し た 。
(25) ^ # S h a r p e で は 、 ま ず 一 般 の 1 - 形 式 ω に 対 し 完 備 性 を 定 義 し 、 カ ル タ ン 接 続 ω が 完 備 な 事 を も っ て カ ル タ ン 幾 何 学 の 完 備 性 を 定 義 し て い る 。 こ こ で P 上 1 - 形 式 ω が 完 備 で あ る と は 、 以 下 を 満 た す 事 を 言 う ︵ # S h a r p e p p . 6 9 . 1 2 9 ︶ ‥ P 上 の 任 意 の ベ ク ト ル 場 X に 対 し 、
ω
(
X
)
|
p
{\displaystyle \omega (X )|_{p}}
が
p
∈
P
{\displaystyle p\in P}
に よ ら ず 定 数 で あ れ ば 、 任 意 の
p
∈
P
{\displaystyle p\in P}
お よ び 任 意 の
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
に 対 し
exp
(
t
X
p
)
{\displaystyle \exp(tX_{p})}
が 定 義 可 能 で あ る 。 ω が カ ル タ ン 接 続 で あ れ ば 、
ω
(
X
)
{\displaystyle \omega (X )}
が 定 数 と な る ベ ク ト ル 場 と は す な わ ち
ω
−
1
(
A
)
{\displaystyle \omega {}^{-1}(A )}
、 f o r
A
∈
g
{\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}}
と 書 け る ベ ク ト ル 場 の 事 で あ る の で 、 こ こ で 挙 げ た 定 義 と 一 致 す る 。 な お 文 献 [ 4 7 ] で は A が 時 間 変 化 す る 事 を 許 す よ り 強 い 完 備 性 の 定 義 を 採 用 し て い る ︵ が 、 両 定 義 の 関 係 に つ い て は 明 記 さ れ て い な い の で 不 明 ︶ 。
(26) ^ こ こ で い う ﹁ 定 数 倍 を 除 い て 一 意 ﹂ と は 2 つ の 計 量 g 、 g ' に 対 し 、 M の 点 u に 依 存 し な い 定 数 k が 存 在 し 、
g
u
′
=
k
g
u
{\displaystyle g'_{u}=kg_{u}}
と な る と い う 意 味 で あ る 。
(27) ^ ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 を モ デ ル と す る カ ル タ ン 幾 何 学 の 場 合 に カ ル タ ン 幾 何 学 の 意 味 で の 捩 率 が K o s z u l 接 続 の 捩 率 テ ン ソ ル と 同 一 な 事 は す で に 示 し た 。
(28) ^ 英 語 で は 、 ﹁ 捩 率 ﹂ は t o r s i o n 、 ﹁ ね じ れ の な い 転 が し ﹂ の ﹁ ね じ れ ﹂ は t w i s t で あ り 、 両 者 は 無 関 係 な 概 念 で あ る 。