正弦定理

正弦定理︵せいげんていり、英:law of sines︶とは三角形の内角の正弦︵サイン︶とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。

概要[編集]

△ABC において、BC = $a$ , CA = $b$ , AB = $c$ , 外接円の半径を $R$ とすると、

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R

が成り立つという定理である。これより一辺とその両端の角から他の二辺が分かり、三角測量の基礎となっている定理である。これは A, B, C に関して対等な表現であるから、その内の1つだけを取り出した

{\frac {a}{\sin A}}=2R

{\frac {a}{\sin A}}=2R

あるいは

{a}=2R{\sin A}

{a}=2R{\sin A}

を正弦定理であると表現することもできる。

以下の証明では角度は弧度法で表している。なお π = 180°である。 0 < ∠A < π2 のとき

直径BDを取る。円周角の定理より ∠A = ∠D である。 △BDC において、BDは直径だから、

{\text{BD}}=2R,\angle {\text{BCD}}={\frac {\pi }{2}}

{\text{BD}}=2R,\angle {\text{BCD}}={\frac {\pi }{2}}

である。よって、正弦の定義より、

\sin D={\frac {a}{2R}}

\sin D={\frac {a}{2R}}

である。ゆえに

\sin A=\sin D={\frac {a}{2R}}

\sin A=\sin D={\frac {a}{2R}}

変形すると

{\frac {a}{\sin A}}=2R

{\frac {a}{\sin A}}=2R

が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。 ∠A = π2 のとき

BC = a= 2R であり、

\sin A=\sin {\frac {\pi }{2}}=1

\sin A=\sin {\frac {\pi }{2}}=1

であるから、

{\frac {a}{\sin A}}=2R

{\frac {a}{\sin A}}=2R

は成り立つ。 π2 < ∠A < π のとき

直径BDを取る。円に内接する四角形の性質から、

\angle {\text{D}}=\pi -\angle {\text{A}}

\angle {\text{D}}=\pi -\angle {\text{A}}

である。つまり、

\sin A=\sin D

\sin A=\sin D

となる。BDは直径だから、

{\text{BD}}=2R,\angle {\text{BCD}}={\frac {\pi }{2}}

{\text{BD}}=2R,\angle {\text{BCD}}={\frac {\pi }{2}}

である。よって、正弦の定義より、

\sin A=\sin D={\frac {a}{2R}}

\sin A=\sin D={\frac {a}{2R}}

である。変形すると

{\frac {a}{\sin A}}=2R

{\frac {a}{\sin A}}=2R

が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。以上より正弦定理が成り立つ。また、逆に正弦定理を仮定すると、﹁円周角の定理﹂、﹁内接四角形の定理﹂︵円に内接する四角形の対角の和は 180°であるという定理︶を導くことができる。

球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a, b, cとすると、

{\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}

{\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}

が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理と呼ぶ。