完全数

数学上の未解決問題

偶数の完全数は無数にあるか。また、奇数の完全数は存在するか。

完全数︵かんぜんすう、英: perfect number︶とは、自分自身が自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のことである。完全数の最初の4個は 6(= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)、496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248)、8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064) である。

﹁完全数﹂は﹁万物は数なり﹂と考えたピタゴラスが名付けた数の一つであることに由来するが、彼がなぜ﹁完全﹂と考えたのかについては何も書き残されていないようである。中世の﹃聖書﹄の研究者は、﹁6 は﹃神が世界を創造した︵天地創造︶6日間﹄、28 は﹃月の公転周期﹄で、これら2つの数は地上と天界における神の完全性を象徴している﹂と考えたとされる。古代ギリシアの数学者は他にもあと2つの完全数 (496, 8128) を知っていた。以来、完全数はどれだけあるのかの探求が2500年以上のちの現在まで続けられている。

完全数の定義は、正の約数の総和が自分自身の2倍に等しいことと同値である。すなわち、N が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(N) = 2N が成り立つことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が 2であると表現することもできる。

歴史

完全数に関する最初の成果は紀元前3世紀ごろのユークリッドである。彼は﹃原論﹄︵第9巻、命題36︶で、﹁2ⁿ − 1 が素数ならば、2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) は完全数である﹂ということを証明した。2ⁿ − 1 で表される数をメルセンヌ数といい、それが素数である場合をメルセンヌ素数という。

古代から、6、28、496、8128の4つの数が完全数であることは知られており、ゲラサのニコマコスの﹃算術入門﹄には4つの完全数に関する記述が存在する。

ユークリッドの公式は偶数の完全数しか生成しないが、逆に偶数の完全数が全て 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) の形で書けるかどうかは18世紀までは未解決であった。レオンハルト・オイラーは偶数の完全数がこの形に限ることを証明した。

メルセンヌ素数の探索は、エドゥアール・リュカとデリック・ヘンリー・レーマーによってメルセンヌ数が素数であるかどうかの効率的な判定法が考案され、1950年代からコンピュータが使われるようになる。現在では分散コンピューティング GIMPS による探求が行われていて、2022年2月現在で判明している最大のメルセンヌ素数は2486万2048桁の数である。

2021年8月現在発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく51個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、﹁偶数の完全数は無数に存在するか？﹂﹁奇数の完全数は存在するか？﹂という問題は未解決である。

概要

完全数は、小さい順に

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A000396︶

である。

各完全数の正の約数の総和は

12, 56, 992, 16256, 67100672, 17179738112, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A139256︶

隣り合う完全数の差は

22, 468, 7632, 33542208, 8556318720, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A139228︶

完全数の総和の列は

6, 34, 530, 8658, 33558994, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A092336︶

である。

6 と 28がなぜ﹁完全﹂であるかは中世の学者の議論の対象になり、6 は神が創造した1週間︵日曜日は神が天地創造を終えて休んだ安息日で、キリスト教ではこれを除外する︶、28 は﹁月の公転周期﹂とされた。聖アウグスティヌス︵? - 604年︶はこれとは一線を画し、﹁6 はそれ自体完全な数である。神が万物を6日間で創造したから 6が完全なのでなく、むしろ逆が真である﹂としている。

偶数の完全数 2^p−1(2^p − 1) = (M_p+1)M_p/2 は M_p番目の三角数でもある。

完全数の分類

偶数の完全数

偶数の完全数は、M_p = 2^p − 1 が素数のときの 2^p−1M_p に限る（ユークリッド、オイラー）。

ユークリッドの証明

2^p−1M_p が完全数であることの証明：

ユークリッドの証明

M_p = 2^p − 1 は奇数になるから、2^p−1 と M_pは互いに素になる。

よって、σ(n) を約数関数とすると、約数関数は乗法的なので、N = 2^p−1M_p の約数の総和 σ(N) は、

${\displaystyle \sigma ($N)=\sigma (2^{p-1})\sigma (M_{p}).} $\sigma (N)=\sigma (2^{p-1})\sigma (M_{p}).$
このとき、

$\sigma (2^{p-1})=\sum _{k=0}^{p-1}2^{k}=2^{p}-1=M_{p}.$$\sigma (2^{p-1})=\sum _{k=0}^{p-1}2^{k}=2^{p}-1=M_{p}.$
M_p は素数なので、

$\sigma (M_{p})=M_{p}+1=2^{p}.$$\sigma (M_{p})=M_{p}+1=2^{p}.$
したがって、

${\displaystyle \sigma ($N)=M_{p}2^{p}=2N.} $\sigma (N)=M_{p}2^{p}=2N.$
すなわち、N の約数の総和が 2Nに等しくなるので、N は完全数である。Q.E.D.

オイラーの証明

偶数の完全数は 2^p−1M_p の形に限ることの証明：

オイラーの証明

N を偶数の完全数とする。N を 2で割り切る最大回数を nとすると、N = 2ⁿK︵n は自然数、K は奇数︶とおける。2ⁿ と Kは互いに素であるので、σ(n) を約数関数とすると、約数関数は乗法的なので、N の正の約数の総和 σ(N) は以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \left(N\right)&=\sigma \left(2^{n}\right)\ \sigma \left(K\right)=\left(\sum _{k=0}^{n}2^{k}\right)\sigma ($K)\\&=\left(2^{n+1}-1\right)\ \sigma \left(K\right)\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\sigma \left(N\right)&=\sigma \left(2^{n}\right)\ \sigma \left(K\right)=\left(\sum _{k=0}^{n}2^{k}\right)\sigma (K)\\&=\left(2^{n+1}-1\right)\ \sigma \left(K\right)\end{aligned}}$
N は完全数であるため、 σ(N) = 2N = 2ⁿ⁺¹K なので

$\left(2^{n+1}-1\right)\sigma \left(K\right)=2^{n+1}K$$\left(2^{n+1}-1\right)\sigma \left(K\right)=2^{n+1}K$
が導かれる。2ⁿ⁺¹ − 1 は奇数なので 2で割り切れず、式が成立するためには、σ(K) は 2ⁿ⁺¹ で割り切れなければならない。 σ(K) = 2ⁿ⁺¹a とおき、上の式に代入して両辺を 2ⁿ⁺¹ で割れば

$\left(2^{n+1}-1\right)a=K$$\left(2^{n+1}-1\right)a=K$
となる。

もし a≠ 1 なら、1、 a、 (2ⁿ⁺¹ − 1)a は Kの相異なる約数のため、

$\sigma \left(K\right)\geqq 1+a+\left(2^{n+1}-1\right)a=2^{n+1}a+1=\sigma \left(K\right)+1$$\sigma \left(K\right)\geqq 1+a+\left(2^{n+1}-1\right)a=2^{n+1}a+1=\sigma \left(K\right)+1$
となり矛盾する。ゆえに、a = 1 でなければならない。したがって、N が偶数の完全数であるためには、

$K=2^{n+1}-1$$K=2^{n+1}-1$　かつ $\sigma \left(K\right)=2^{n+1}=K+1$$\sigma \left(K\right)=2^{n+1}=K+1$
でなければならない。σ(K) = K+ 1 より、K は Kと 1以外に約数がない素数でなければならない。

ゆえに、N が偶数の完全数であるのは、 N = 2ⁿ(2ⁿ⁺¹ − 1)︵ただし 2ⁿ⁺¹ − 1 は素数︶の形のときに限られる。Q.E.D.

偶数の完全数の性質

偶数の完全数を N= 2^p−1(2^p − 1)︵2^p −1 は素数︶とする。

●N の正の約数の個数は d(N) = 2p である︵d は約数の個数を表す約数関数︶。

●N の正の約数の調和平均は p、ゆえに Nは調和数である。

●6 以外の偶数の完全数は、1 から連続する正の奇数の立方和で表せる。式で表すと

$N=\sum _{k=1}^{2^{\frac {p-1}{2}}}(2k-1)^{3}\quad (p\geqq 3)$$N=\sum _{k=1}^{2^{\frac {p-1}{2}}}(2k-1)^{3}\quad (p\geqq 3)$
例‥

28 = 1³ + 3³, 496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³, 8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³

1 から連続する正の奇数の立方和で表せる数の列は

1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A002593︶

●2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1)︵n は自然数︶の列は

1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A006516︶

この数列で完全数にならない数の数列は オンライン整数列大辞典の数列 A144858 を参照

●n × σ(n) は n= 2^p−1 のとき偶数の完全数になる。ただし σ は約数関数である。この数列は

1, 6, 12, 28, 30, 72, 56, 120, 117, 180, 132, 336, 182, 336, 360, 496, 306, 702, 380, 840, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A064987︶

●偶数の完全数は、1 から連続する正の整数の和で表せる。式で表すと

$N=\sum _{k=1}^{2^{p}-1}k\quad (p\geqq 2)$$N=\sum _{k=1}^{2^{p}-1}k\quad (p\geqq 2)$
例‥6 = 1 + 2 + 3 , 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 , 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... + 28 + 29 + 30 + 31

言い換えると、N は 2^p− 1 番目の三角数である。偶数の三角数の列は

6, 10, 28, 36, 66, 78, 120, 136, 190, 210, 276, 300, 378, 406, 496, 528, 630, 666, 780, 820, 946, 990, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A014494︶

●偶数の完全数は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て六角数でもある。六角数の列は

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A000384︶

●n 番目の六角数は n(2n − 1) なので、偶数の六角数は 2n(4n − 1) で表される。偶数の六角数の列は

6, 28, 66, 120, 190, 276, 378, 496, 630, 780, 946, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A014635︶

●6 以外の完全数は中心つき九角数に含まれる。この数の列は

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A060544︶

●N を十進法表示したとき、一の位は 6または 8である。

偶数の完全数の未解決問題

偶数の完全数は無数に存在するか、つまり M_p = 2^p − 1 が素数となる素数 p は無数に存在するかどうかは未解決である。

奇数の完全数

奇数の完全数が存在するか否かは未解決であるが、約数関数は乗法的 (英: multiplicative) であることから、二平方数の和であることが古くから知られていた。もし奇数の完全数 Nが存在すれば、N は以下の各条件を満たさなければならないことが知られている。

●N の素因数分解は q^αp₁^2e₁ … p_k^2e_kの形である。ここで q, p₁< p₂< … < p_kは相異なる素数で q≡ α ≡ 1 (mod 4) を満たす。
●N <2^4k+1 である。

●p₁ < 2/3k + 2 である。また 2 ≤ i≤ 6 のとき p_i<2²ⁱ⁻¹(k − i+ 1) である。

●e₁ ≡ e₂≡ … ≡ e_k≡ 1 (mod 3) ではない。

●e₁ ≡ e₂≡ … ≡ e_k≡ 2 (mod 5) ではない.

●e₁ = e₂= … = e_k= β とすると、β は 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 17, 18, 24, 62 ではない。さらにk ≤ 2β² + 8β + 2 である。

●N ≡ 1 (mod 12) または N≡ 1/2 ・3^2e₁(3^2e₁+1 − 1) (mod 2 ・3^2e₁(3^2e₁+1 − 1)) である。

●N >10¹⁵⁰⁰ である。
●これは1991年に示されたを約20年ぶりに改良したものである。

●N は少なくとも10個の相異なる素因数を持つ。
●これは2015年に発表されたものであるが、﹁9個以上﹂を示した2006年の結果を改良したものである。﹁7個﹂の場合は1972年までにカール・ポメランスによって示され、﹁8個﹂の場合は1980年ごろに Cheinと Hagisによってほぼ同時に示されており、その後多くの数学者の努力にもかかわらず、26年もの間﹁9個﹂の場合は示されなかった。

●N が 3で割り切れない場合は、少なくとも12個の素因数を持つ。3 でも 5でも割り切れない場合は15個以上の、3 でも 5でも 7でも割り切れない場合は27個以上の相異なる素因数を持つ。

●N は重複も数えて少なくとも101個の素因数を持つ。

●N は 10⁸より大きい素因数を持つ。
●これは2006年に発表されたものであるが、より古い下界としては2003年の 10⁷や、1998年の 10⁶などがある。

●N の2番目に大きな素因数は 10⁴より大きい。

●N の3番目に大きな素因数は 100 より大きい。

●N は 10⁶²より大きい素数冪因数を持つ。

その他の性質

• 完全数は、正の約数の個数が偶数、正の約数の逆数和が 2 なので、調和数である。この数の列は

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, …（オンライン整数列大辞典の数列 A001599）

完全数でない自然数

完全数の拡張

約数の和を考えることで特徴付けられる数の種類には他にも次のようなものがある。完全数と併せて、これらの名称には古代ギリシアの数秘学の影響が見られる。

倍積完全数 (multiperfect number)

正の約数の和が自分自身の倍数である自然数を倍積完全数という。特に、それがk倍に等しいものをk倍完全数という。完全数とは2倍完全数のことである。

1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A007691︶

ハイパー完全数 (hyperperfect number)

n が k-ハイパー完全数であるとは、

n = 1 + k(σ(n) − n− 1)︵ただしk は自然数︶︵σ は約数関数︶

を満たすことと定義される。完全数は 1-ハイパー完全数である。

k -ハイパー完全数の列は

6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, 8128, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A034897︶

超完全数 (superperfect number)

n が (m, k)-完全数であるとは、

σ^m(n) = kn︵ただし kは自然数︶︵σ は約数関数︶

を満たすときと定義される。完全数は (1, 2)-完全数、倍積完全数は (1, k)-完全数、超完全数は (2, 2)-完全数である。

不完全数

完全数でない自然数を不完全数 (imperfect number) という。

不足数 (deficient number)

自分自身以外の正の約数の和より大きい自然数

過剰数 (abundant number)

自分自身以外の正の約数の和より小さい自然数

友愛数 (amicable pair)

自分自身以外の正の約数の和が互いに他方に等しい2つの自然数の組。

社交数 (sociable numbers)

友愛数と同様の関係が成立する3個以上の自然数の組。

準完全数 (quasiperfect number)

n が準完全数であるとは、正の約数の和が 2n+ 1 に等しいことと定義される。過剰数の一種。そのような数はいまだに見つかっていないが、存在するならばそれは奇数の平方数で 10³⁵より大きく、少なくとも7つの約数を持つということが示されている。

概完全数 (almost perfect number)

n が概完全数であるとは、正の約数の和が 2n− 1 に等しいことと定義される。不足数の一種。2^k (= 1, 2, 4, 8, 16, …) の形の自然数はこの条件を満たしているが、この形の自然数以外の概完全数が存在するのかどうかは知られていない。

乗法的完全数 (multiplicative perfect number)

正の約数の積が自分自身の自乗︵2乗︶に等しい数を乗法的完全数という。乗法的完全数の列は、

1, 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, …︵オンライン整数列大辞典の数列 A007422︶

エピソード

小川洋子の小説『博士の愛した数式』（2003年）では登場人物の「博士」が阪神タイガースの江夏豊投手のファンであったことの理由として江夏の背番号が28であったことを挙げ、その際に完全数の説明がなされている。

日本プロ野球で初めて完全試合が達成されたのは月・日とも完全数の1950年6月28日だった。

参考文献

●数学セミナー編集部 編﹃数の世界﹄日本評論社、東京︿数学セミナー増刊 数学セミナー・リーディングス﹀、1982年9月30日。 

●ハーディ, G.H.、ライト, E.M. 著、示野信一・矢神毅 訳﹃数論入門I﹄丸善出版︿シュプリンガー数学クラシックス8﹀、2001年7月。ISBN 978-4-621-06226-5。 

●ハイベア、メンゲ 編﹃ユークリッド原論﹄中村幸四郎・寺阪英孝・伊東俊太郎・池田美恵訳・解説、共立出版。 
●︵ハードカバー︶1971年7月。ISBN 4-320-01072-8

●︵縮刷版︶1996年6月。ISBN 4-320-01513-4

●︵追補版︶2011年5月。ISBN 978-4-320-01965-2

●ハイベア・メンゲ 編﹃原論VII－X﹄ 第2巻、斎藤憲 訳・解説、東京大学出版会︿エウクレイデス全集﹀、2015年8月31日、43f, VII 定義23, IV 命題36頁。ISBN 978-4-13-065302-2。 

●和田秀男﹃数の世界　整数論への道﹄岩波書店︿岩波科学ライブラリー﹀、1981年7月10日。ISBN 978-4-00-005500-0。 

● History of the theory of numbers, Vol. I: Divisibility and primality (paperback ed.), New York: Dover Publications, (2005), ISBN 0-486-44232-2, https://books.google.co.jp/books?id=FYWn8XWrAI0C&pg=PA3 

●Euler, Leonhard (1849), “De numeris amicibilibus [On amicable numbers]” (ラテン語), Commentationes arithmeticae, 2, pp. 627–636, http://eulerarchive.maa.org/pages/E798.html 

●Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-20860-7  (online book - Google ブックス)
●リチャード・ガイ﹃数論における未解決問題集﹄一松信ほか 訳、Springer-Verlag Tokyo、1983年1月。ISBN 4-87573-101-9。  - 原タイトル‥Unsolved problems in number theory.

●リチャード・K・ガイ﹃数論︿未解決問題﹀の事典﹄金光滋 訳、朝倉書店、2010年11月5日。ISBN 978-4-254-11129-3。  - 原タイトル‥Unsolved problems in number theory. 3rd ed.

●Sándor, J.; Crstici, B. (2004), Handbook of number theory, II, Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2546-7  (online book - Google ブックス)

●高木貞治‥﹁初等整数論講義﹂第2版、︵1971︶。

関連項目

• 拡大友愛数
• 婚約数（準友愛数）
• 三角数
• 社交数
• メルセンヌ数
• 友愛数
• 友愛的三対 - 友愛数を社交数とは別の方向に拡張したもの。
• アリコット数列

外部リンク

• 足立恒雄『完全数』 - コトバンク
• 『完全数の一覧と性質』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Perfect Number". mathworld.wolfram.com (英語).
• Greathouse, Charles; Weisstein, Eric W. "Odd Perfect Number". mathworld.wolfram.com (英語).