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二 進 法 ︵ に し ん ほ う 、 ︵ 英 : b i n a r y n u m e r a l s y s t e m , b a s e - 2 n u m e r a l s y s t e m ︶ と は 、 底 を 2 と す る 位 取 り 記 数 法 お よ び 命 数 法 で あ る 。 二 進 法 に よ っ て 表 さ れ た 数 を 二 進 数 ︵ に し ん す う 、 ︵ 英 : b i n a r y n u m b e r ︶ と 呼 ぶ 。 二 進 法 に お い て 、 位 は 順 に 底 2 の 冪 ︵ … , 1 / 4 , 1 / 2 , 1 , 2 , 4 , … ︶ ご と に 取 り 、 位 の 値 は 0 ま た は 1 を 取 る ︵ 例 ‥ 十 進 数 の 7 ( = 4 + 2 + 1 ) は 二 進 法 で 1 1 1 、 1 . 7 5 ( = 1 + 0 . 5 + 0 . 2 5 ) は 1 . 1 1 と 表 さ れ る ︶ 。
記数法 [ 編集 ]
二進法で表された数
二 を底とする位取り記数法 を二進記数法 または単に二進法と呼ぶ。二進法による数の表示は、一の位を k = 0 とし添字 k で位の位置を表し、位の値を d k ∈ {0, 1} で表せば、以下のように書ける:
d
n
−
1
⋯
d
1
d
0
.
d
−
1
⋯
.
{\displaystyle d_{n-1}\cdots d_{1}d_{0}.d_{-1}\cdots \,.}
これは以下の総和 の略記と見なせる:
∑
k
n
−
1
d
k
2
k
=
d
n
−
1
2
n
−
1
+
⋯
+
2
d
1
+
d
0
+
d
−
1
2
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{k}^{n-1}d_{k}2^{k}=d_{n-1}2^{n-1}+\cdots +2d_{1}+d_{0}+{\frac {d_{-1}}{2}}+\dotsm {}\,.}
例えば十進法における 21.25 は二進法において、
10101.01
2
=
16
+
4
+
1
+
1
4
=
21.25
{\displaystyle 10101.01_{2}=16+4+1+{\frac {1}{4}}=21.25}
と表される(添字の 2 は二進表記であることを示す)。負の数は一般的な記数法と同じく、負号をつけて表す(例:−10101.012 )。
十進法など一般の位取り記数法と同様に、二進法においても小数 部が有限の長さとなる数は一部の有理数 に限られ、また円周率 のような無理数 を厳密に表すことはできない。二進法の場合、有理数を表す既約分数について、分母が2の冪ならば有限小数として書けるが、そうでないならば有限小数としては書けない。例えば十進法では 1 / 5 を有限小数 0.2 で表せるが、二進法では循環小数 0.0011 2 = 0.00110011…2 で表さなければならない。
デジタル機器での使用 [ 編集 ]
電子式コンピュータ の電子回路 などのデジタル回路 (デジタル論理回路 )、磁気ディスク 等の記憶メディアでは、電圧 の高低、磁極 の N/S など、物理 現象を二状態のみに縮退して扱う(離散化などと言う[注 1] )ので、それに、真と偽の2つの値(2値の真理値 )のみを使用する二値論理(しばしば、電子的には H と L 、論理的には T と F という記号が使われる)をマッピングする。更にそこで数値を扱うには、それに「0 と 1 」の二進法をマッピングするのが最適である。
多くの応用で見られるように桁 数が有限の場合は、数学的に言うなら「有理数 の部分集合」が表現されているわけであるが、通常は「有限精度の実数」が表現されていると解釈される。このため、コンピュータやデジタル機器は二進数が使用される。
また、八進法 や十六進法 や三十二進法 は同じく2の冪を底とするためしばしば利用される。
負数の扱い [ 編集 ]
ビ ッ ト 列 に よ っ て 負 の 数 の 値 を 表 す た め 広 く 用 い ら れ る 方 法 の 一 つ と し て 、 2 の 補 数 表 現 が あ る 。 2 の 補 数 表 現 は 、 n 桁 の ビ ッ ト 列 の 最 上 位 ビ ッ ト の 重 み を + 2 n − 1 で は な く − 2 n − 1 と す る も の で あ る 。 2 の 補 数 表 現 は 、 そ の ビ ッ ト パ タ ー ン が 、 加 減 ( 及 び 、 乗 ) の 演 算 に お い て 特 別 な 処 理 が 不 要 な も の に な る 、 と い う 特 長 を 持 つ 。 た だ し 、 溢 れ ︵ オ ー バ ー フ ロ ー ︶ の 扱 い が 違 っ て く る ︵ こ れ は 、 例 え ば x 8 6 プ ロ セ ッ サ に お け る 、 キ ャ リ ー フ ラ グ と オ ー バ フ ロ ー フ ラ グ の 違 い の こ と で あ る ︵ ス テ ー タ ス レ ジ ス タ # キ ャ リ ー と オ ー バ ー フ ロ ー を 参 照 ︶ ︶ 。
他 の N 進 法 か ら 二 進 法 へ の 変 換 方 法 [ 編 集 ]
﹁ 十 進 法 か ら 二 進 法 へ の 変 換 方 法 ﹂ な ど と い っ た も の を 考 え る 必 要 は な い 。 ど ち ら も 数 の ﹁ 表 現 法 ﹂ に 過 ぎ な い の だ か ら 、 単 に ﹁ 表 現 法 → 数 → 表 現 法 ﹂ と い っ た よ う に し て 変 換 す れ ば 良 い の で あ る 。
正 の 整 数 [ 編 集 ]
正 の 整 数 m を 十 進 法 か ら 二 進 法 に 変 換 す る の は 次 の よ う に す る 。
(一) m を x に 代 入 す る 。
(二) x を 2 で 割 っ て 、 余 り を 求 め る 。
(三) x / 2 の 商 を x に 代 入 す る 。
(四) 2 . に 戻 る 。 x = 0 で あ れ ば 終 了 。
余 り を 求 め た 順 の 逆 に 並 べ る と 、 そ れ が 二 進 法 に 変 換 さ れ た 結 果 に な る 。
例 : 1 9 2 を 二 進 法 に 変 換 す る 。
2 )192 192=20 ×1922 ) 96 …0 192=21 × 96+20 ×02 ) 48 …0 192=22 × 48+21 ×0+20 ×02 ) 24 …0 192=23 × 24+22 ×0+21 ×0+20 ×02 ) 12 …0 192=24 × 12+23 ×0+22 ×0+21 ×0+20 ×02 ) 6 …0 192=25 × 6+24 ×0+23 ×0+22 ×0+21 ×0+20 ×02 ) 3 …0 192=26 × 3+25 ×0+24 ×0+23 ×0+22 ×0+21 ×0+20 ×02 ) 1 …1 192=27 × 1+26 ×1+25 ×0+24 ×0+23 ×0+22 ×0+21 ×0+20 ×0
0…1
よ っ て 1 9 2 10 = 1 1 0 0 0 0 0 0 2 で あ る 。
正 で 1 未 満 の 数 [ 編 集 ]
正 で 1 未 満 ( 0 < m < 1 ) で あ る 数 m を 十 進 法 か ら 二 進 法 に 変 換 す る の は 次 の よ う に す る 。
(一) 1 を n に 、 m を x に 代 入 す る 。
(二) 2 x < 1 な ら ば 、 小 数 点 以 下 第 n 位 は 0 に な る 。 2 x > 1 な ら ば 、 小 数 点 以 下 第 n 位 は 1 に な る 。
(三) 2 x = 1 な ら ば 終 了 。
(四) 2 x > 1 な ら ば 2 x - 1 を x に 代 入 す る 。 2 x < 1 な ら ば 2 x を x に 代 入 す る 。
(五) n + 1 を n に 代 入 す る 。
(六) 小 数 点 以 下 の 桁 数 が 必 要 な 桁 数 ま で 求 ま っ て い る か 、 循 環 小 数 と な っ た ら 終 了 す る 。
(七) 2 . へ 戻 る 。
計 算 の 例 1 : 1 / 3 を 二 進 法 に 変 換 す る 。
処理
(途中)結果
1
3
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}}
0.
1
3
×
2
=
2
3
<
1
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}}
0.0
2
3
×
2
=
1
1
3
≥
1
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1\end{matrix}}}
0.01
1
3
×
2
=
2
3
<
1
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}}
0.010
ここで「処理」の部分の最後「
1
3
×
2
=
2
3
<
1
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}}
」はそれ以前に出てきた式である。このため、これ以上続けても同じ式の繰り返しで永久に終わらないことがわかる。すなわち小数部の「01」が循環することがわかるので終了する。
よって1/310 =0.010101…2 =0.01 2
(なお、アンダーバーの部分(01 )は無限に繰り返しという意味)
計算の例 2: 十進法での 0.1 を二進法に変換する。
処理
(途中)結果
0.1
0.
0.1×2=0.2 <1
0.0
0.2×2=0.4 <1
0.00
0.4×2=0.8 <1
0.000
0.8×2=1.6 ≥1
0.0001
0.6×2=1.2 ≥1
0.00011
0.2×2=0.4 <1
0.000110
0.4×2=0.8 <1
0.0001100
こ こ で ﹁ 処 理 ﹂ の 部 分 の 最 後 ﹁ 0 . 4 × 2 = 0 . 8 < 1 ﹂ は そ れ 以 前 に 出 て き た 式 で あ る 。 こ の た め 、 こ れ 以 上 続 け て も 同 じ 式 の 繰 り 返 し で 永 久 に 終 わ ら な い こ と が わ か る 。 す な わ ち 小 数 部 の ﹁ 0 0 1 1 ﹂ が 循 環 す る こ と が わ か る の で 終 了 す る 。
よ っ て 0 . 1 10 = 0 . 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 … 2 = 0 . 0 0 0 1 1 2 で あ る 。
命 数 法 [ 編 集 ]
二 進 命 数 法 と は 、 2 を 底 と す る 命 数 法 で あ る 。
通 常 、 二 進 法 の 数 詞 を 持 つ と さ れ る も の は 二 つ 組 で 数 え る 体 系 で あ り 、 乗 算 が 含 ま れ な い 。 以 下 に パ プ ア ニ ュ ー ギ ニ ア の 南 キ ワ イ 語 [ 1 ] ( S o u t h e r n K i w a i ) お よ び シ ッ サ ノ 語 [ 2 ] ( S i s s a n o ) の 数 詞 を 示 す [ 3 ] 。
十進
二進
南キワイ語
シッサノ語
1
1
neis
puntanen
2
10
netewa
eltin
3
11
netewa nao
eltin puntanen
4
100
netewa netewa
eltin eltin
5
101
netewa netewa nao
eltin eltin puntanen
現代日本における万進 、あるいは十二進法 体系であるダース ・グロスなどのように、2倍ごとに新しい単位が命名される体系は、自然言語 では、パプアニューギニア のメルパ語 [4] (Melpa) でのみ知られている[3] 。
十進
二進
メルパ語
1
1
tenta
2
10
ralg
3
11
raltika
4
100
timbakaka
5
101
timbakaka pamb ti
6
110
timbakaka pamb ralg
7
111
timbakakagul raltika
8
1000
engaka
9
1001
engaka pamb ti
10
1010
engaka pamb ralg pip
ライプニッツによる八卦と二進法の比較[5]
^ 量子化とも言うが、量子物理におけるいわゆる量子のような意味(重ね合わせ状態など)ではない。
(一) ^ G o r d o n , R a y m o n d G . , J r . , e d . ( 2 0 0 5 ) , “ K i w a i , S o u t h e r n ” , E t h n o l o g u e : L a n g u a g e s o f t h e W o r l d ( 1 5 e d . ) , http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=kjd 2 0 0 8 年 3 月 12 日 閲 覧 。
(二) ^ G o r d o n , R a y m o n d G . , J r . , e d . ( 2 0 0 5 ) , “ S i s s a n o ” , E t h n o l o g u e : L a n g u a g e s o f t h e W o r l d ( 1 5 e d . ) , http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=sso 2 0 0 8 年 3 月 12 日 閲 覧 。
(三) ^ a b L e a n , G l e n d o n A n g o v e ( 1 9 9 2 ) . “ T A L L I E S A N D 2 - C Y C L E S Y S T E M S ” . C o u n t i n g S y s t e m s o f P a p u a N e w G u i n e a a n d O c e a n i a . P h . D . t h e s i s , P a p u a N e w G u i n e a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y . オ リ ジ ナ ル の 2 0 0 7 年 9 月 5 日 時 点 に お け る ア ー カ イ ブ 。 . https://web.archive.org/web/20160304132322/http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/ch2web/ch2.htm
(四) ^ G o r d o n , R a y m o n d G . , J r . , e d . ( 2 0 0 5 ) , “ M e l p a ” , E t h n o l o g u e : L a n g u a g e s o f t h e W o r l d ( 1 5 e d . ) , http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=med 2 0 0 8 年 3 月 12 日 閲 覧 。
(五) ^ a b ラ イ プ ニ ッ ツ ﹃ ラ イ プ ニ ッ ツ 著 作 集 10 中 国 学 ・ 地 質 学 ・ 普 遍 学 ﹄ 下 村 寅 太 郎 ほ か 監 修 、 工 作 舎 、 1 9 9 1 年 、 p 1 2 。
(六) ^ S a n c h e z , J u l i o ; C a n t o n , M a r i a P . ( 2 0 0 7 ) , M i c r o c o n t r o l l e r p r o g r a m m i n g : t h e m i c r o c h i p P I C , B o c a R a t o n , F l o r i d a : C R C P r e s s , p . 3 7 , I S B N 0 - 8 4 9 3 - 7 1 8 9 - 9
(七) ^ W . S . A n g l i n a n d J . L a m b e k , T h e H e r i t a g e o f T h a l e s , S p r i n g e r , 1 9 9 5 , I S B N 0 - 3 8 7 - 9 4 5 4 4 - X
(八) ^ B a c o n , F r a n c i s ( 1 6 0 5 ) , T h e A d v a n c e m e n t o f L e a r n i n g ( 英 語 ) , v o l . 6 , L o n d o n , C h a p t e r 1
(九) ^
C l a u d e E . S h a n o n ( 1 9 3 7 ) , A S y m b o l i c A n a l y s i s o f R e l a y a n d S w i t c h i n g C i r c u i t s , M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , D e p t . o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g , http://hdl.handle.net/1721.1/11173
関連項目 [ 編集 ]
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二進法 に関連するカテゴリがあります。