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'''フェルマーの最終定理'''(フェルマーのさいしゅうていり、{{lang-en-short|Fermat's Last Theorem}})とは、{{math|3}} 以上の[[自然数]] {{mvar|n}} について、{{math|''x{{sup|n}}'' + ''y{{sup|n}}'' {{=}} ''z{{sup|n}}''}} となる自然数の組 {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} は存在しない、という[[定理]]である{{refnest|group=注釈|これに対して {{math|''n'' {{=}} 2}} のとき、{{math|''x{{sup|2}}'' + ''y{{sup|2}}'' {{=}} ''z{{sup|2}}''}} を満たす自然数の組 {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} は無数に存在し、[[ピタゴラスの定理#ピタゴラス数|ピタゴラス数]]と呼ばれる。}}。'''フェルマーの大定理'''とも呼ばれる。[[ピエール・ド・フェルマー]]が驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく[[証明 (数学)|証明]]も反証もなされなかったことから'''フェルマー予想'''とも称されたが、フェルマーの死後330年経った[[1995年]]に[[アンドリュー・ワイルズ]]によって完全に[[ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明|証明]]され、'''ワイルズの定理'''または'''フェルマー・ワイルズの定理'''とも呼ばれるようになった<ref>[[ニュートン (雑誌)|Newton]] 2019年2月号 p86</ref>。 |
'''フェルマーの最終定理'''(フェルマーのさいしゅうていり、{{lang-en-short|Fermat's Last Theorem}})とは、{{math|3}} 以上の[[自然数]] {{mvar|n}} について、{{math|''x{{sup|n}}'' + ''y{{sup|n}}'' {{=}} ''z{{sup|n}}''}} となる自然数の組 {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} は存在しない、という[[定理]]である{{refnest|group=注釈|これに対して {{math|''n'' {{=}} 2}} のとき、{{math|''x{{sup|2}}'' + ''y{{sup|2}}'' {{=}} ''z{{sup|2}}''}} を満たす自然数の組 {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} は無数に存在し、[[ピタゴラスの定理#ピタゴラス数|ピタゴラス数]]と呼ばれる。}}。'''フェルマーの大定理'''とも呼ばれる。[[ピエール・ド・フェルマー]]が驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく[[証明 (数学)|証明]]も反証もなされなかったことから'''フェルマー予想'''とも称されたが、フェルマーの死後330年経った[[1995年]]に[[アンドリュー・ワイルズ]]によって完全に[[ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明|証明]]され、'''ワイルズの定理'''または'''フェルマー・ワイルズの定理'''とも呼ばれるようになった<ref>[[ニュートン (雑誌)|Newton]] 2019年2月号 p86</ref>。 |
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なお,証明は極めて容易である。 |
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== 概要 == |
== 概要 == |
2023年1月13日 (金) 04:52時点における版
概要
17世紀、フランスの裁判官ピエール・ド・フェルマー︵1607年 - 1665年︶は、古代ギリシアの数学者ディオファントスの著作﹃算術﹄を読み、本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣を持っていた。それらは数学的な定理あるいは予想であったが、限られた余白への書き込みであるため、また充分な余白がある場合にも、フェルマーはその証明をしばしば省略した︵たとえば、フェルマーの小定理として知られる書き込みを実際に証明したのは、ゴットフリート・ライプニッツである︶。 48か所に及ぶこれらの書き込みが知られるようになったのは、フェルマーの没後の1670年に彼の息子サミュエルによってフェルマーの書き込み入りの﹃算術﹄が刊行されてからである[注釈 2][注釈 3]。 第2巻第8問﹁平方数を2つの平方数の和に表せ[注釈 4]﹂の欄外余白に、フェルマーはCubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.[4] | 立方数を2つの立方数の和に分けることはできない。4乗数を2つの4乗数の和に分けることはできない。一般に、冪(べき)が2より大きいとき、その冪乗数を2つの冪乗数の和に分けることはできない。この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。 |
個別研究の時代
n が具体的な値を取るいくつかの場合についてはさまざまな証明が与えられた。n = 4‥フェルマー
n = 3‥オイラー
レオンハルト・オイラーは1753年にクリスティアン・ゴールドバッハへ宛てた書簡の中で n= 3 の場合の証明法について言及し[9]、1760年に純初等的で完全な証明を得た[10]。さらに、1770年に刊行した著書﹃代数学﹄︵Vollständige Anleitung zur Algebra︶ではその証明とは異なり︵複素数を用いる︶エレガントながら不完全な証明を公開した。ただし、この2番目の証明は虚数のレベル、具体的には a+b√−3 の形の数まで因数分解を行ったもので、現代の言葉で言えば、整数環 で因数分解を行うものであったが、この整数環では素因数分解の一意性が成立しない︵一意分解環ではない︶という不備があった[11]ので、のちに √−3 の代わりに 1の原始3乗根 を付加した整数環 ︵これは円分体 の整数環でもあり、素因数分解の一意性が成り立つ︶を使うことで修正された。n = 5‥ジェルマン、ディリクレ、ルジャンドル
1823年にソフィ・ジェルマンは、フェルマー予想を奇素数 pに対して、 xp+ yp= zpにおいて、 第一の場合 x, y, zのいずれも pで割り切れない 第二の場合 x, y, zのいずれかが pで割り切れる という2つのケースに分類し、p と 2p+1 が共に素数の場合について、﹁第一の場合﹂に関してはフェルマー予想が正しいことを証明した[12]‥ソフィ・ジェルマンの定理 ― p を 2p+1 も素数であるような奇素数とする.このときフェルマーの大定理の第一の場合は指数 p に対して正しい.
n = 14 ‥ディリクレおよび n= 7 ‥ラメ、ルベーグ
1832年にディリクレは n= 14 の場合を証明した[14]が、上述の通り nが素数である場合の方が肝要なので、これは n= 7 の場合を証明するための途中経過であった。しかし実際に n= 7 の場合を証明したのはガブリエル・ラメ︵1839年︶と、ラメの証明に含まれていた誤りを訂正したヴィクトル=アメデ・ルベーグ︵1840年︶であった[13]。 1847年、ラメは﹁フェルマー予想の一般的解法を発見した﹂と発表し、同じ解法を自分の方が先に発見していたと主張するオーギュスタン=ルイ・コーシーとの間で論争にまでなった。しかしこの解法とは xn+ yn= znの左辺を複素数で素因子分解するというものであり、この分解は一意的なものでないためこの問題に関する解法たりえていないことが指摘される[15]。 また、n = 7 の場合についてのラメの証明があまりにも複雑なものだったため、同様の手法で n= 11 や 13の場合について研究してみようと思う者はいなくなり、個別研究の時代は終わる[13]。クンマーの理想数
コーシーとラメが争っていたのと同じ頃、エルンスト・クンマーが自ら打ち立てた理想数の理論︵後にリヒャルト・デーデキントがイデアルの理論として発展させる︶を導入する[16]。これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、n が正則素数である︵もしくは正則素数で割り切れる︶全ての場合については証明がなされた[17]。虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在する[注釈 6]が、クンマーは 100 以下の非正則素数︵37, 59, 67の3個しかない︶についてはそれぞれ個別に研究して解決した[19]。その結果、100 までの全ての奇素数 nについて︵当然 100 以下の奇素数を約数に持つ全ての nについても︶フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。 1857年、フランス科学アカデミーは、1816年に続き1850年に設けたまま受賞者の出なかった﹁フェルマー予想の証明者﹂のための懸賞金︵金メダルと3000フラン︶を︵最終的解決でないことを承知の上で︶クンマーに与えた[20]。1874年、クンマーは 101 から 163 までの指数について計算を実行し、新たに 101, 103, 131, 149, 157 の5個が非正則素数であることを示した[21]。 その後、クンマーの理想数を発展させた代数的整数論による判定法をコンピューターで計算させることにより、1994年の初めには 第一の場合 奇素数 p< 8.8×1020 第二の場合 奇素数 p< 4000000 の場合にフェルマー予想が成り立つことが証明された[22]。近代的アプローチへ
モジュラー形式
アンリ・ポアンカレは上半平面上の関数についての研究から、モジュラー形式を案出する。
モーデル予想
谷山–志村予想
フライ・セール予想
1984年にゲルハルト・フライはフェルマーの最終定理に対する反例 an+ bn= cnからはモジュラーでない楕円曲線︵フライ曲線︶‥ y2 = x(x − an)(x + bn) が得られ、これは谷山–志村予想に対する反例を与えることになるというアイディアを提示。ジャン=ピエール・セールによって定式化されたこの予想はフライ・セールのイプシロン予想と呼ばれ、1986年にケン・リベットによって証明された。 これらの経過は以下のように整理することができる。 (一)まず、フェルマー予想が偽である︵フェルマー方程式が自然数解をもつ︶と仮定する。 (二)この自然数解からは、モジュラーでない楕円曲線を作ることができる。 (三)しかし、谷山–志村予想が正しいならば、モジュラーでない楕円曲線は存在しない。 (四)矛盾が導かれたので、当初の仮定が誤っていることとなる。 (五)したがって、フェルマー予想は真である。︵背理法︶ つまり、谷山–志村予想が証明されたならば、それはフェルマーの最終定理が証明されたことをも意味するのである(=完全証明への道がつながった)。 しかし、当時の数学者たちのほとんどが﹁谷山-志村予想は証明不可能﹂と考えており、ここまでアプローチできてもフェルマー予想を解決しようと取り組む数学者は皆無に等しかった。 つまりケン・リベットによるイプシロン予想の解決は﹃証明不可能なフェルマーの最終定理﹄が﹃証明不可能な谷山-志村予想﹄に置き換わったにすぎなかったのである。最終的解決
証明した論文
- Andrew Wiles (May 1995). “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem(モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理)”. Annals of Mathematics 141 (3): 443-551 .
- Richard Taylor and Andrew Wiles (May 1995). “Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras(ある種のヘッケ環の理論的性質)”. Annals of Mathematics 141 (3): 553-572 .
エピソード
この節に雑多な内容が羅列されています。 |
フィクション
偽の反例
脚注
注釈
出典
- ^ Newton 2019年2月号 p86
- ^ 足立 1995, pp. 40f
- ^ 足立 2006, pp. 17, 87–95
- ^ Panchishkin & Manin 2007, p. 341
- ^ 足立 2006, pp. 93–95
- ^ 足立 2006, pp. 99–101
- ^ 足立 2006, pp. 137–139
- ^ 足立 2006, pp. 139–140
- ^ 足立 2006, p. 140
- ^ 足立 2006, p. 148
- ^ 足立 2006, pp. 140–148
- ^ 足立 2006, pp. 150–156
- ^ a b c 足立 2006, p. 150
- ^ 足立 2006, p. 231
- ^ 足立 2006, pp. 156–165
- ^ 足立 2006, pp. 166–218
- ^ 足立 2006, p. 215
- ^ 足立 2006, pp. 217, 227
- ^ 足立 2006, pp. 223–224
- ^ 足立 2006, p. 220
- ^ 足立 2006, pp. 215, 226
- ^ 足立 1995, pp. 17, 128
- ^ 1995年2月の毎日新聞縮小版より
- ^ 『Newton別冊 数学の世界[増補第3版]』ニュートンプレス、2019年11月5日、156頁。
- ^ 『新スタートレック』38話「ホテル・ロイヤルの謎」など
- ^ SHINICHI MOCHIZUKI (30 November 2020). Explicit Estimates in Inter-universal Teichm¨uller Theory (PDF) (Report). 京都大学数理解析研究所. 2020年12月5日閲覧。
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: 不明な引数|coauthors=
は無視されます。(もしかして:|author=
) (説明) - ^ Singh, Simon (2013) (英語). The Simpsons and Their Mathematical Secrets. A&C Black. pp. 35–36. ISBN 978-1-4088-3530-2
参考文献
●足立恒雄﹃フェルマーの大定理 整数論の源流﹄日本評論社︿数セミ・ブックス12﹀、1984年8月。 ●足立恒雄﹃フェルマーの大定理 整数論の源流﹄︵第2版︶日本評論社、1994年6月。ISBN 4-535-78207-5。 ●足立恒雄﹃フェルマーの大定理 整数論の源流﹄︵第3版︶日本評論社、1996年5月。ISBN 4-535-78231-8。 ●足立恒雄﹃フェルマーの大定理 整数論の源流﹄筑摩書房︿ちくま学芸文庫 ア24‐1 Math & Science﹀、2006年9月。ISBN 978-4-480-09012-6。 ●足立恒雄﹃フェルマーの大定理が解けた! オイラーからワイルズの証明まで﹄講談社︿ブルーバックスB-1074﹀、1995年6月。ISBN 978-4-06-257074-9。 ●Panchishkin, Alexei A.; Manin (April 2007), Introduction to Modern Number Theory: Fundamental Problems, Ideas and Theories, Springer, ISBN 978-3-540-20364-3関連文献
●足立恒雄﹃フェルマーを読む﹄日本評論社、1986年6月。ISBN 4-535-78153-2。 ●アミール・D・アクゼル﹃天才数学者たちが挑んだ最大の難問 フェルマーの最終定理が解けるまで﹄吉永良正 訳、早川書房、1999年5月。ISBN 4-15-208224-0。 ●アミール・D・アクゼル﹃天才数学者たちが挑んだ最大の難問 フェルマーの最終定理が解けるまで﹄吉永良正 訳、早川書房︿ハヤカワ文庫 NF <数理を愉しむ>シリーズ﹀、2003年9月。ISBN 4-15-050282-X。 ●アルフ・ファン・デル・プールテン﹃フェルマーの最終定理についてのノート その注釈と随想﹄山口周 訳、森北出版、2000年2月。ISBN 4-627-06101-3。 ●加藤和也﹃解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡﹄日本評論社、1995年10月。ISBN 4-535-78223-7。 ●久我勝利﹃図解雑学 数論とフェルマーの最終定理﹄關口力・百瀬文之 監修、ナツメ社、2005年9月。ISBN 4-8163-3995-7。 ●サイモン・シン﹃フェルマーの最終定理 ピュタゴラスに始まり、ワイルズが証明するまで﹄青木薫 訳、新潮社、2000年1月。ISBN 4-10-539301-4。 ●サイモン・シン﹃フェルマーの最終定理﹄青木薫 訳、新潮社︿新潮文庫﹀、2006年6月。ISBN 4-10-215971-1。 ●富永裕久﹃フェルマーの最終定理に挑戦 天才ガウスも断念﹄ナツメ社、1996年2月。ISBN 4-8163-1933-6。 ●富永裕久﹃図解雑学 フェルマーの最終定理﹄ナツメ社、1999年10月。ISBN 4-8163-2697-9。 ●Paulo Ribenboim﹃フェルマーの最終定理13講﹄吾郷博顕 訳、共立出版、1983年7月。ISBN 4-320-01087-6。 ●Paulo Ribenboim﹃フェルマーの最終定理13講﹄吾郷博顕 訳︵第2版︶、共立出版、1989年2月。ISBN 4-320-01415-4。 ●山口周﹃フェルマーの最終定理 証明への道具立てと発見的推理﹄東宛社、1997年4月。ISBN 4-924694-32-0。小説
●アーサー・C・クラーク、フレデリック・ポール 共著﹃最終定理﹄小野田和子訳、早川書房︿海外SFノヴェルズ﹀、2010年1月22日。ISBN 978-4-15-209101-7。 - フェルマーの最終定理の簡潔な証明に挑むスリランカの大学生を主人公にした長編SF小説。クラークの遺作。 ●日沖桜皮﹃﹇小説﹈フェルマーの最終定理﹄PHP研究所、2010年3月19日。ISBN 978-4-569-77742-9。 - フェルマーの最終定理に関連する数学史を対話形式で紹介した小説。 ●保阪正康﹃ある数学狂の一世紀 まぼろしの定理に憑かれた男﹄講談社、1976年。ASIN B000J96SEE。 - フェルマーの最終定理の証明に後半生をかけた茂木学介の伝記。 ●保阪正康﹃数学に魅せられた明治人の生涯﹄筑摩書房︿ちくま文庫 ほ16-4﹀、2012年2月8日。ISBN 978-4-480-42907-0。 - 保阪 (1976)の文庫版。 ●結城浩﹃数学ガール フェルマーの最終定理﹄ソフトバンククリエイティブ、2008年8月。ISBN 978-4-7973-4526-1。 - 3人の高校生と1人の中学生が数学にチャレンジする青春物語。まんが版
●中村亨﹃フェルマーの最終定理 萌えて愉しむ数学最大の難問﹄三嶋くるみ 漫画、木戸実験 シナリオ、PHP研究所、2009年12月。ISBN 978-4-569-77520-3。 ●結城浩﹃数学ガール フェルマーの最終定理﹄ (1)巻、春日旬 画、メディアファクトリー︿MFコミックス アライブシリーズ﹀、2011年4月23日。ISBN 978-4-8401-3793-5。 ●結城浩﹃数学ガール フェルマーの最終定理﹄ (2)巻、春日旬 画、メディアファクトリー︿MFコミックス フラッパーシリーズ﹀、2012年2月23日。ISBN 978-4-8401-4422-3。 ●結城浩﹃数学ガール フェルマーの最終定理﹄ (3)︵完︶、春日旬 画、メディアファクトリー︿MFコミックス フラッパーシリーズ﹀、2013年3月23日。ISBN 978-4-8401-5015-6。さらに進んだ書物
●加藤和也、黒川信重・斎藤毅﹃数論 1 ―― Fermatの夢 ――﹄岩波書店︿現代数学の基礎1︹18︺﹀、1996年10月7日。ISBN 4-00-010631-7。 ●加藤和也、黒川信重・斎藤毅﹃数論 2 ―― 類体論とは ――﹄岩波書店︿現代数学の基礎1︹19︺﹀、1998年10月7日。ISBN 4-00-010643-0。 ●加藤和也﹃数論 I ―― Fermatの夢と類体論 ――﹄黒川信重・斎藤毅、岩波書店、2005年1月7日。ISBN 978-4-00-005527-7。 - 加藤, 黒川 & 斎藤 (1996)と加藤, 黒川 & 斎藤 (1998)の合冊、改訂版。 ●加藤和也﹃フェルマーの最終定理・佐藤-テイト予想解決への道﹄ 第1巻、岩波書店︿類体論と非可換類体論﹀、2009年1月29日。ISBN 978-4-00-006617-4。 ●斎藤毅﹃Fermat予想﹄ 第1巻、岩波書店︿現代数学の展開9︹11︺﹀、2000年3月28日。ISBN 4-00-010659-7。 ●斎藤毅﹃Fermat予想﹄ 第2巻、岩波書店︿現代数学の展開12︹12︺﹀、2008年2月8日。ISBN 978-4-00-010662-7。 ●斎藤毅﹃フェルマー予想﹄岩波書店、2009年2月6日。ISBN 978-4-00-005958-9。 - 斎藤 (2000)と斎藤 (2008)の合本。関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Fermat's Last Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).