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緯度角(
ϕ
{\displaystyle \phi }
)に対応する弧 が子午線弧。
フランス科学アカデミー遠征隊のペルーとラップランドへの派遣 [ 編集 ]
ピ カ ー ル に よ る 測 量 以 降 、 測 量 精 度 が 向 上 す る に つ れ て 、 地 球 の 正 確 な 形 状 に つ い て の 問 題 が 顕 在 化 し 、 地 球 は 正 確 に は 真 球 よ り 回 転 楕 円 体 と 考 え る べ き と の 意 見 が 多 く な っ た が 、 長 球 な の か 扁 球 な の か に つ い て 議 論 が 分 か れ て い た 。 ジ ャ ッ ク ・ カ ッ シ ー ニ は 、 1 7 1 3 年 に 自 ら が 行 っ た ダ ン ケ ル ク - ペ ル ピ ニ ャ ン 間 の 測 量 結 果 を ﹃ 地 球 の 大 き さ と 形 状 ﹄ ︵ D e l a g r a n d e u r e t d e l a f i g u r e d e l a t e r r e 、 1 7 2 0 年 ︶ に 取 り ま と め 、 こ の 結 果 と ル ネ ・ デ カ ル ト の 渦 動 説 か ら 、 地 球 が 南 北 に 長 い 長 球 で あ る こ と を 提 唱 し た 。 一 方 で は 、 振 り 子 時 計 を パ リ か ら 赤 道 付 近 へ 持 っ て ゆ く と 遅 く な る と い う ジ ャ ン ・ リ シ ェ に よ る 報 告 か ら の 推 測 に よ り 、 ア イ ザ ッ ク ・ ニ ュ ー ト ン が 発 表 し た 万 有 引 力 の 理 論 か ら 赤 道 方 向 に 長 い 扁 球 で あ る と 主 張 す る 学 者 も 多 数 い た 。
こ れ を 受 け 、 18 世 紀 半 ば ︵ 1 7 3 5 年 ~ 1 7 4 0 年 ︶ に は 、 フ ラ ン ス 科 学 ア カ デ ミ ー が 、 地 球 楕 円 体 の 形 状 の 論 争 に 決 着 を つ け る た め に 赤 道 近 傍 と 北 極 近 傍 の 子 午 線 弧 長 を 比 較 し た 。 こ の 測 量 事 業 は 、 ピ エ ー ル ・ ブ ー ゲ 、 ル イ ・ ゴ ダ ン 、 シ ャ ル ル = マ リ ー ・ ド ・ ラ ・ コ ン ダ ミ ー ヌ 、 ピ エ ー ル ・ ル イ ・ モ ー ペ ル テ ュ イ 及 び ア ン ト ニ オ ・ デ ・ ウ ジ ョ ー ア ら に よ っ て ペ ル ー ︵ 現 在 の エ ク ア ド ル ︶ [ 1 ] と ラ ッ プ ラ ン ド ︵ ト ル ネ 谷 ︶ で 実 行 さ れ た 。
測 量 結 果 は 2 地 域 の 同 緯 度 差 で の 子 午 線 弧 長 に 対 す る 有 意 差 を 示 し 、 極 付 近 の 弧 長 が 赤 道 付 近 の 弧 長 よ り も 大 き い と い う も の で あ っ た 。 こ れ は 赤 道 付 近 の ほ う が 極 付 近 よ り も 曲 率 が 大 き い こ と を 示 唆 し て お り 、 1 6 8 7 年 に ニ ュ ー ト ン が 彼 の 著 書 ﹃ 自 然 哲 学 の 数 学 的 諸 原 理 ﹄ の 第 3 巻 に お い て 提 唱 し た と お り 、 地 球 の 数 学 的 形 状 は 扁 球 と し て 解 釈 で き る こ と が 確 認 さ れ た 。 カ ッ シ ー ニ が 得 た 測 量 結 果 が 不 正 確 で あ っ た こ と は 、 彼 の 弟 子 と も い う べ き ニ コ ラ ・ ル イ ・ ド ・ ラ カ ー ユ が 1 7 3 9 年 か ら 2 年 を 費 や し て 再 測 量 を 行 う こ と に よ り 確 認 さ れ た 。
18 世 紀 後 半 に か け て 、 フ ラ ン ス 科 学 ア カ デ ミ ー に よ っ て ダ ン ケ ル ク - バ ル セ ロ ナ 間 の 子 午 線 弧 長 の 測 量 が 行 わ れ 、 メ ー ト ル の 定 義 の た め に 使 わ れ た 。
伊 能 忠 敬 に よ る 子 午 線 弧 の 測 量 [ 編 集 ]
日 本 で は 伊 能 忠 敬 が 第 二 次 測 量 ︵ 1 8 0 1 年 ︶ の 結 果 か ら 緯 度 1 度 に 相 当 す る 子 午 線 弧 長 を 2 8 . 2 里 と 導 き 出 し て い る 。
子 午 線 弧 長 の 計 算 [ 編 集 ]
地 球 楕 円 体 に 基 づ く 子 午 線 弧 長 の 計 算 は 地 図 投 影 法 、 特 に 横 メ ル カ ト ル 図 法 ︵ ガ ウ ス ・ ク リ ュ ー ゲ ル 図 法 ︶ に お い て 重 要 な 役 割 を 果 た す 。 ま た そ の 面 上 の 二 点 間 測 地 線 距 離 ︵ 最 短 距 離 ︶ を 求 め る 問 題 も こ れ に 帰 着 さ れ る 。
赤 道 か ら 地 理 緯 度
φ
{\displaystyle \varphi \,}
ま で の 子 午 線 弧 長
S
(
φ
)
{\displaystyle S(\varphi )\,}
は 、 楕 円 積 分 が 含 ま れ て い る た め 、 初 等 関 数 で は 表 す こ と が で き な い が 、
φ
{\displaystyle \varphi \,}
の 一 次 単 項 式 と
φ
{\displaystyle \varphi \,}
の 偶 数 倍 を 位 相 と す る 正 弦 高 調 波 の 無 限 級 数 の 一 般 式 で 書 き 表 す こ と が で き る 。 ま た こ れ を 指 定 し た 次 数 で 打 ち 切 れ ば 有 限 級 数 の 形 で 近 似 計 算 に 用 い る こ と が で き る 。
第 三 離 心 率 を 用 い た 一 般 式 [ 編 集 ]
オ イ ラ ー は 1 7 5 5 年 に 第 三 離 心 率
e
′
′
{\displaystyle e^{\prime \prime }\,}
の 二 乗 を 微 小 量 と し て 用 い て 無 限 級 数 の 一 般 式 を 得 た 。
第 一 離 心 率 を 用 い た 表 式 [ 編 集 ]
地 球 楕 円 体 の 長 半 径 を
a
{\displaystyle a\,}
、 第 一 離 心 率 を
e
{\displaystyle e\,}
と し て 、 子 午 線 曲 率 半 径 [ 2 ] は
M
φ
=
a
(
1
−
e
2
)
(
1
−
e
2
sin
2
φ
)
3
/
2
{\displaystyle M_{\varphi }={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{3/2}}}\,}
と な る 。 赤 道 か ら 地 理 緯 度
φ
{\displaystyle \varphi \,}
ま で の 子 午 線 弧 長
S
(
φ
)
{\displaystyle S(\varphi )\,}
は 以 下 の よ う に
M
φ
{\displaystyle M_{\varphi }}
の 部 分 積 分 で 与 え ら れ る 。
S
(
φ
)
=
∫
0
φ
M
θ
d
θ
=
a
(
1
−
e
2
)
Π
(
e
2
;
φ
,
e
)
{\displaystyle S(\varphi )=\int _{0}^{\varphi }M_{\theta }\mathrm {d} \theta =a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi ,e)}
歴 史 的 に 広 く 用 い ら れ て き た
S
(
φ
)
{\displaystyle S(\varphi )\,}
の 無 限 級 数 一 般 式 は 、 ジ ャ ン = バ テ ィ ス ト ・ ジ ョ ゼ フ ・ ド ラ ン ブ ル が 1 7 9 9 年 に 公 表 し 、 共 通 係 数 と し て 率 直 に
a
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle a(1-e^{2})}
を 括 り 出 し 、
e
2
{\displaystyle e^{2}}
を 微 小 量 と し て 級 数 展 開 し た も の で あ る [ 3 ] 。
S
(
φ
)
=
a
(
1
−
e
2
)
(
D
0
φ
+
D
2
sin
2
φ
+
D
4
sin
4
φ
+
D
6
sin
6
φ
+
D
8
sin
8
φ
+
⋯
)
,
D
0
=
1
+
3
4
e
2
+
45
64
e
4
+
175
256
e
6
+
11025
16384
e
8
+
⋯
,
D
2
=
−
3
8
e
2
(
1
+
5
4
e
2
+
175
128
e
4
+
735
512
e
6
+
⋯
)
,
D
4
=
15
256
e
4
(
1
+
7
4
e
2
+
147
64
e
4
+
⋯
)
,
D
6
=
−
35
3072
e
6
(
1
+
9
4
e
2
+
⋯
)
,
D
8
=
315
131072
e
8
(
1
+
⋯
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S\left(\varphi \right)&=a\left(1-e^{2}\right)\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4\varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right),\\D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}\left(1+{\tfrac {5}{4}}e^{2}+{\tfrac {175}{128}}e^{4}+{\tfrac {735}{512}}e^{6}+\cdots \right),\\D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}\left(1+{\tfrac {7}{4}}e^{2}+{\tfrac {147}{64}}e^{4}+\cdots \right),\\D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}\left(1+{\tfrac {9}{4}}e^{2}+\cdots \right),\\D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}\left(1+\cdots \right).\end{aligned}}}
し か し な が ら 、 こ れ は ヘ ル メ ル ト の 式 な ど に 比 べ る と 、 係 数
D
{\displaystyle D}
の
(
)
{\displaystyle (\ )}
内 に
e
2
,
e
6
,
⋯
{\displaystyle e^{2},\ e^{6},\ \cdots }
の 項 が 現 れ 、 多 く の 項 数 を 必 要 と す る 。 ま た 共 通 係 数 と し て
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle (1-e^{2})}
を 括 り 出 し て い る こ と が 原 因 で [ 4 ] 、
(
⋯
)
{\displaystyle \left(\cdots \right)}
内 で
e
2
{\displaystyle e^{2}}
の 冪 乗 の 級 数 の 収 束 性 が 劣 る 。
第 三 扁 平 率 を 用 い た 表 式 [ 編 集 ]
更 成 緯 度 で 表 し た 表 式 [ 編 集 ]
フ リ ー ド リ ヒ ・ ヴ ィ ル ヘ ル ム ・ ベ ッ セ ル は 1 8 2 5 年 に 更 成 緯 度
β
=
tan
−
1
(
1
−
e
2
tan
φ
)
{\displaystyle \beta =\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi \right)}
で 表 し た 子 午 線 弧 長
S
(
β
)
{\displaystyle S(\beta )}
に 対 し て 、 第 三 扁 平 率
n
=
1
−
1
−
e
2
1
+
1
−
e
2
{\displaystyle n={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}
を 用 い 、 共 通 係 数 と し て
a
1
+
n
{\displaystyle {\frac {a}{1+n}}}
を 括 り 出 し 微 小 量 と し て
n
{\displaystyle n}
を 用 い て 二 項 定 理 を 利 用 し フ ー リ エ 級 数 展 開 を 行 っ た 一 般 式 を 得 た [ 5 ] 。 そ の 級 数 係 数 は
n
{\displaystyle n}
の 偶 数 も し く は 奇 数 冪 乗 の 冪 級 数 と な る 。
S
(
β
)
=
a
1
+
n
∫
0
β
1
−
2
n
cos
2
β
+
n
2
d
β
=
a
1
+
n
(
c
0
β
+
∑
l
=
1
∞
(
−
1
)
l
c
l
l
sin
2
l
β
)
.
c
l
=
∑
k
=
0
∞
a
k
a
k
+
l
.
a
k
=
(
1
/
2
k
)
n
k
=
(
−
1
)
k
+
1
(
2
k
−
3
)
!
!
(
2
k
)
!
!
n
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\beta )&={\frac {a}{1+n}}\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1-2n\cos 2\beta +n^{2}}}\,d\beta \\&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\beta +\sum _{l=1}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\beta \right).\\c_{l}&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,a_{k+l}.\\a_{k}&={\binom {1/2}{k}}n^{k}=(-1)^{k+1}{\frac {\left(2k-3\right)!!}{\left(2k\right)!!}}n^{k}.\end{aligned}}}
こ こ で 、
j
!
!
{\displaystyle j!!}
は
j
{\displaystyle j}
の 二 重 階 乗 を 表 す 。 た だ し こ の 式 は 子 午 線 弧 長 の 計 算 に は 広 く は 用 い ら れ な か っ た 。 な お 一 般 式 で は な い が ベ ッ セ ル は 、 求 長 緯 度
μ
=
π
2
S
S
(
π
/
2
)
{\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {S}{S\!\left(\pi /2\right)}}}
で
β
{\displaystyle \beta }
を 表 す 逆 関 数 に 当 た る 級 数 展 開 も 示 し て い る 。
地 理 緯 度 で 表 し た 表 式 [ 編 集 ]
こ こ で 楕 円 積 分 の 関 係 式 及 び
n
{\displaystyle n}
の 符 号 反 転 を 考 え る と 、 地 理 緯 度
φ
{\displaystyle \varphi }
で
S
{\displaystyle S}
を 表 し た 一 般 式 が 得 ら れ る 。 こ れ ら の 級 数 の 収 束 性 は 他 に 知 ら れ て い る 計 算 式 よ り も 優 れ て い る ︵ 級 数 展 開 に
n
{\displaystyle n}
の 奇 数 次 項 が 現 れ な い な ど ︶ 。
S
(
φ
)
=
a
1
+
n
∫
0
φ
(
1
−
n
2
)
2
(
1
+
2
n
cos
2
φ
+
n
2
)
3
2
d
φ
=
a
1
+
n
(
∫
0
φ
1
+
2
n
cos
2
φ
+
n
2
d
φ
−
2
n
sin
2
φ
1
+
2
n
cos
2
φ
+
n
2
)
=
a
1
+
n
(
c
0
φ
+
∑
l
=
1
∞
c
l
l
sin
2
l
φ
−
2
n
sin
2
φ
1
+
2
n
cos
2
φ
+
n
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\int _{0}^{\varphi }{\frac {\left(1-n^{2}\right)^{2}}{\left(1+2n\cos 2\varphi +n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,d\varphi \\&={\frac {a}{1+n}}\left(\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}\,d\varphi -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\\&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\varphi +\sum _{l=1}^{\infty }{\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\varphi -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\end{aligned}}}
こ れ ら の 無 限 級 数 は 、 含 ま れ る
n
{\displaystyle n}
の 次 数 を
l
max
{\displaystyle l_{\max }}
で 打 ち 切 れ ば 有 限 級 数 と な る 。 す な わ ち 、
c
l
{\displaystyle c_{l}}
を 下 記 の よ う に 近 似 す る こ と に な る 。
c
l
,
approx
=
{
∑
k
=
0
⌊
(
l
max
−
l
)
/
2
⌋
a
k
a
k
+
l
(
l
≤
l
max
)
0
(
l
>
l
max
)
{\displaystyle c_{l,\,{\textrm {approx}}}={\begin{cases}\sum _{k=0}^{\lfloor (l_{\max }-l)/2\rfloor }a_{k}\,a_{k+l}&(l\leq l_{\max })\\0&(l>l_{\max })\end{cases}}}
た だ し 、
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
は 床 関 数 ︵
x
{\displaystyle x\,}
を 超 え な い 最 大 の 整 数 ︶ を 表 す も の と す る 。
ヘ ル メ ル ト ・ ベ ッ セ ル の 式 [ 編 集 ]
ベ ッ セ ル は ま た 1 8 3 7 年 に 上 記 の
S
(
φ
)
{\displaystyle S(\varphi )}
に 対 し て も 同 じ く 二 項 定 理 の 手 法 で 級 数 展 開 一 般 式 を 得 た 。 括 り 出 さ れ た 共 通 係 数 は
a
(
1
−
n
)
2
(
1
+
n
)
{\displaystyle a(1-n)^{2}(1+n)}
だ っ た 。
さ ら に 、 1 8 8 0 年 に フ リ ー ド リ ヒ ・ ロ ベ ル ト ・ ヘ ル メ ル ト が 、 括 り 出 す 共 通 係 数 を 前 節 と 同 じ
a
1
+
n
{\displaystyle {\frac {a}{1+n}}}
へ 変 更 し 、
n
4
{\displaystyle n^{4}}
で 打 切 っ た 近 似 式 を 提 示 し た [ 6 ] 。
S
(
φ
)
≈
a
1
+
n
{
(
1
+
n
2
4
+
n
4
64
)
φ
−
3
2
n
(
1
−
n
2
8
)
sin
2
φ
+
15
16
n
2
(
1
−
n
2
4
)
sin
4
φ
−
35
48
n
3
sin
6
φ
+
315
512
n
4
sin
8
φ
}
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )\approx &\;{\frac {a}{1+n}}\left\{\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}\right)\varphi -{\frac {3}{2}}n\left(1-{\frac {n^{2}}{8}}\right)\sin 2\varphi \right.\\&\ \left.+{\frac {15}{16}}n^{2}\left(1-{\frac {n^{2}}{4}}\right)\sin 4\varphi -{\frac {35}{48}}n^{3}\sin 6\varphi +{\frac {315}{512}}n^{4}\sin 8\varphi \right\}\\\end{aligned}}}
こ れ は 一 般 式 に す る な ら ば 下 記 と な る 。
S
(
φ
)
=
a
1
+
n
(
c
0
φ
+
∑
l
=
1
∞
(
1
−
4
l
2
)
c
l
l
sin
2
l
φ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\varphi +\sum _{l=1}^{\infty }\left(1-4l^{2}\right){\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\varphi \right).\end{aligned}}}
し か し な が ら 前 節 の 一 般 式 と 比 べ る な ら ば
−
2
n
sin
2
φ
1
+
2
n
cos
2
φ
+
n
2
{\displaystyle {\frac {-2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}}
の 項 [ 7 ] も 級 数 展 開 し た こ と は 収 束 性 を 悪 く し て お り 、 乗 数 の 中 に は
−
4
l
2
{\displaystyle -4l^{2}}
が 加 わ っ て い る 。
加 え て 、 ヘ ル メ ル ト に よ る 導 出 過 程 は 一 般 論 と し て は 不 備 が あ り 、 一 般 式 の 導 出 ・ 証 明 に は 至 ら な い も の だ っ た 。 し か し ヘ ル メ ル ト の 式 は 簡 潔 で 精 度 も 良 い た め 近 似 式 と し て は 普 及 し た 。
河 瀬 の 式 [ 編 集 ]
一 般 式 と し て の ヘ ル メ ル ト の 式 の 証 明 自 体 に つ い て は 長 年 放 置 さ れ て い た が 、
最 終 的 に 2 0 0 9 年 に 河 瀬 和 重 に よ り 証 明 が 行 わ れ た 。
そ の 際 に 用 い ら れ た 一 般 式 は 、 二 項 定 理 を 経 由 す る も の で は な く 、 ゲ ー ゲ ン バ ウ ア ー 多 項 式 に よ る 級 数 展 開 を 利 用 し 一 種 類 の 無 限 和 に 集 約 さ れ た 形 で あ っ た [ 8 ] 。
S
(
φ
)
=
a
1
+
n
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
ε
k
)
2
{
φ
+
∑
l
=
1
2
j
(
1
l
−
4
l
)
sin
2
l
φ
∏
m
=
1
l
ε
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
(
−
1
)
m
}
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\varepsilon _{k}\right)^{2}\left\{\varphi +\sum _{l=1}^{2j}\left({\frac {1}{l}}-4l\right)\sin 2l\varphi \prod _{m=1}^{l}\varepsilon _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right\}\\\end{aligned}}}
こ こ で 、
ε
i
=
3
n
/
2
i
−
n
{\displaystyle \varepsilon _{i}=3n/2i-n\,}
で あ る 。 上 式 で
j
=
2
{\displaystyle j=2\,}
ま で 取 れ ば 、 ヘ ル メ ル ト の 提 示 し た 近 似 式 が 得 ら れ る [ 9 ] [ 1 0 ] 。 級 数 を
j
=
J
{\displaystyle j=J\,}
で 打 ち 切 れ ば 、
n
{\displaystyle n\,}
に つ い て
2
J
{\displaystyle 2J\,}
次 ま で で 打 ち 切 っ た 近 似 式 が 得 ら れ る こ と に な る 。
(一) ^ 18 世 紀 に お い て は 、 エ ク ア ド ル と い う 国 は ま だ 存 在 し て い な か っ た 。 当 該 地 域 は 、 当 時 ス ペ イ ン の 管 轄 下 に 置 か れ て お り 、 後 の キ ト 市 と な る “ キ ト 特 別 行 政 区 ” と 呼 ば れ て い た 。 1 8 3 0 年 に 独 立 を 果 た し た 際 に 国 の 名 称 と し て 採 用 さ れ た “ エ ク ア ド ル 共 和 国 ” ︵ ﹁ エ ク ア ド ル ﹂ に は ス ペ イ ン 語 で ﹃ 赤 道 ﹄ の 意 味 が あ る ︶ に は 、 “ 赤 道 付 近 の 地 域 ” と し て 選 ば れ た こ の 地 に お い て 実 施 さ れ る こ と と な っ た 、 フ ラ ン ス 測 地 測 量 事 業 の 名 声 が 影 響 し て い る と 考 え ら れ て い る 。
(二) ^ 子 午 線 曲 率 半 径 は 平 面 曲 線 ︵ 楕 円 ︶ の 幾 何 学 的 性 質 か ら 初 等 的 に 求 め ら れ る 。 例 え ば 、 R a p p , R , ( 1 9 9 1 ) : G e o m e t r i c G e o d e s y , P a r t I , § 3 . 5 . 1 , p p . 2 8 – 3 2 参 照 。
(三) ^ こ の 式 は 日 本 で も 広 く 用 い ら れ 、 昭 和 61 年 版 か ら 平 成 21 年 版 ま で の 理 科 年 表 ︵ 地 学 部 ︶ に も 掲 載 さ れ て い た 。
(四) ^ 共 通 係 数
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle (1-e^{2})}
を 括 り 出 さ ず に 級 数 に 組 み 込 む か 、 も し く は
(
1
−
1
4
e
2
)
{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{4}}e^{2}\right)}
を 括 り 出 す な ど で 、 収 束 性 は 改 善 さ れ る 。
(五) ^ 二 項 定 理 を 利 用 し た 級 数 展 開 は 、
(
1
+
2
n
cos
θ
+
n
2
)
α
=
(
1
+
n
e
i
θ
)
α
(
1
+
n
e
−
i
θ
)
α
=
(
∑
k
=
0
∞
(
α
k
)
n
k
e
i
k
θ
)
(
∑
k
=
0
∞
(
α
k
)
n
k
e
−
i
k
θ
)
=
∑
k
=
0
∞
(
α
k
)
2
n
2
k
+
2
∑
l
=
1
∞
∑
k
=
0
∞
(
α
k
)
(
α
k
+
l
)
n
2
k
+
l
cos
l
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2n\cos \theta +n^{2}\right)^{\alpha }\\&=\left(1+n\,e^{i\theta }\right)^{\alpha }\left(1+n\,e^{-i\theta }\right)^{\alpha }\\&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}n^{k}e^{ik\theta }\right)\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}n^{k}\,e^{-ik\theta }\right)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}^{2}n^{2k}+2\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}{\binom {\alpha }{k+l}}\,n^{2k+l}\cos l\theta \\\end{aligned}}}
(六) ^ ヘ ル メ ル ト の 提 示 で は 実 際 に は 式 の 形 に ま と ま っ て い な か っ た が 、 1 9 1 2 年 に ヨ ハ ン ・ ハ イ ン リ ヒ ・ ル イ ・ ク リ ュ ー ゲ ル ︵ ド イ ツ 語 版 ︶ が ヘ ル メ ル ト の 結 果 を 式 の 形 に 取 り ま と め て い る 。
(七) ^ こ の 項 は 、 不 完 全 楕 円 積 分 項 の
φ
{\displaystyle \varphi }
に 関 す る 二 階 微 分 に 等 し い の で 、 級 数 展 開 形 で は 乗 数
−
4
l
2
{\displaystyle -4l^{2}}
が 得 ら れ る 。
(八) ^ ゲ ー ゲ ン バ ウ ア ー 多 項 式 を 利 用 し た 級 数 展 開 は 、 二 項 定 理 を 利 用 し た 級 数 展 開 の 和 の 取 り ま と め 方 を 変 え る こ と で も 同 様 の 結 果 が 得 ら れ る が 、
(
1
+
2
n
cos
θ
+
n
2
)
α
=
∑
k
=
0
∞
(
−
n
)
k
C
k
(
−
α
)
(
cos
θ
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
n
)
k
∑
l
=
0
k
(
k
−
l
−
α
−
1
k
−
l
)
(
l
−
α
−
1
l
)
cos
(
k
−
2
l
)
θ
=
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
ν
k
α
)
2
(
1
+
2
∑
l
=
1
2
j
cos
2
l
θ
∏
m
=
1
l
(
ν
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
α
)
(
−
1
)
m
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2n\cos \theta +n^{2}\right)^{\alpha }\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-n)^{k}C_{k}^{(-\alpha )}(\cos \theta )\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-n)^{k}\sum _{l=0}^{k}{\binom {k-l-\alpha -1}{k-l}}{\binom {l-\alpha -1}{l}}\cos(k-2l)\theta \\&=\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\nu _{k}^{\alpha }\right)^{2}\left(1+2\sum _{l=1}^{2j}\cos 2l\theta \prod _{m=1}^{l}\left(\nu _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{\alpha }\right)^{(-1)^{m}}\right)\\\end{aligned}}}
た だ し 、
ν
i
α
=
(
α
+
1
i
−
1
)
n
{\displaystyle \nu _{i}^{\alpha }=\left({\frac {\alpha +1}{i}}-1\right)n}
で あ る 。
(九) ^ 平 成 23 年 版 の 理 科 年 表 か ら 、 そ れ ま で 掲 載 さ れ て い た ド ラ ン ブ ル の 近 似 式 に 取 っ て 代 わ り 、 河 瀬 の 一 般 式 と ヘ ル メ ル ト の 近 似 式 が 掲 載 さ れ て い る 。
(十) ^ 同 じ 考 え 方 に 立 て ば 、 ベ ッ セ ル が 1 8 2 5 年 に 得 た
S
(
β
)
{\displaystyle S(\beta )}
及 び 1 8 3 7 年 に 得 た
S
(
φ
)
{\displaystyle S(\varphi )}
を 次 の よ う に 書 き 下 す こ と も で き る 。
S
(
β
)
=
a
1
+
n
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
ε
¯
k
)
2
(
β
+
∑
l
=
1
2
j
sin
2
l
β
l
∏
m
=
1
l
ε
¯
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
(
−
1
)
m
)
,
S
(
φ
)
=
a
(
1
−
n
2
)
2
1
+
n
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
δ
k
)
2
(
φ
+
∑
l
=
1
2
j
sin
2
l
φ
l
∏
m
=
1
l
δ
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
(
−
1
)
m
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\beta )&={\frac {a}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}{\bar {\varepsilon }}_{k}\right)^{2}\left(\beta +\sum _{l=1}^{2j}{\frac {\sin 2l\beta }{l}}\prod _{m=1}^{l}{\bar {\varepsilon }}_{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right),\\S(\varphi )&={\frac {a(1-n^{2})^{2}}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\delta _{k}\right)^{2}\left(\varphi +\sum _{l=1}^{2j}{\frac {\sin 2l\varphi }{l}}\prod _{m=1}^{l}\delta _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right).\end{aligned}}}
た だ し 、
ε
¯
i
=
−
ε
i
=
n
−
3
n
/
2
i
{\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{i}=-\varepsilon _{i}=n-3n/2i}
及 び
δ
i
=
−
n
/
2
i
−
n
{\displaystyle \delta _{i}=-n/2i-n}
で あ る 。
参考文献 [ 編集 ]
Euler, L. (1755). “Élémens de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et plus petits” . Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin 1753 9 : 258–293. https://books.google.co.jp/books?id=QIIfAAAAYAAJ&pg=PA258&redir_esc=y&hl=ja . Figures .
Delambre, J. B. J. (1799): Méthodes Analytiques pour la Détermination d'un Arc du Méridien ; précédées d'un mémoire sur le même sujet par A. M. Legendre , De L'Imprimerie de Crapelet, Paris, 72–73
Bessel, F. W. (1825): Ueber die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen , Astronomische Nachrichten 4 , 241–254
Bessel, F. W. (1837): Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht , Astronomische Nachrichten, 14 , 333–346
Helmert, F. R. (1880): Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie , Einleitung und 1 Teil , Druck und Verlag von B. G. Teubner, Leipzig, 44–48
Krüger, L. (1912): Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene , Veröffentlichung Königlich Preuszischen geodätischen Institutes, Neue Folge, 52 , Druck und Verlag von B. G. Teubner, Potsdam, 12
Florence, Trystram (2001). L'épopée du méridien terrestre (Le procès des étoiles) . ISBN 978-2277220138
Florence, Trystram (1983/07). 地球を測った男たち . リブロポート. ISBN 978-4845700974
河瀬和重 (2009): 緯度を与えて赤道からの子午線弧長を求める一般的な計算式 , 国土地理院 時報, 119 , 45–55
飛田幹男 , 河瀬和重, 政春尋志、「赤道からある緯度までの子午線長を計算する3つの計算式の比較 」 『測地学会誌』 2009年 55巻 3号 p.315-324, 日本測地学会
関連項目 [ 編集 ]
外部リンク [ 編集 ]