運動エネルギー

古典力学
${\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})$ 運動の第2法則
歴史
分野 静力学  · 動力学 / 物理学における動力学  · 運動学  · 応用力学  · 天体力学  · 連続体力学  · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転 · 円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン

運動エネルギー︵うんどうエネルギー、︵英: kinetic energy︶は、物体の運動に伴うエネルギーである。物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の kinetic は、﹁運動﹂を意味するギリシア語の κίνησις︵kinesis︶に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。

質点の運動エネルギー

ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量と速さの二乗に比例する。 つまり、速度 vで運動する質量mの物体の運動エネルギーKは


$K={\frac {1}{2}}mv^{2}$$K={\frac {1}{2}}mv^{2}$

で与えられる。

ニュートンの運動方程式が


${\displaystyle m{\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}($t)} $m{\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}(t)$

と表されているとき、この力 Fが時刻t₀ からt₁ の間に為す仕事 $W_{t_{0}\to t_{1}}$$W_{t_{0}\to t_{1}}$は、


${\displaystyle {\begin{aligned}W_{t_{0}\to t_{1}}&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\boldsymbol {F}}($t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(m{\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}\cdot {\boldsymbol {v}}(t)\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {dK}{dt}}\,dt\\&=K(t_{1})-K(t_{0})\end{aligned}}} ${\begin{aligned}W_{t_{0}\to t_{1}}&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\boldsymbol {F}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(m{\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}\cdot {\boldsymbol {v}}(t)\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {dK}{dt}}\,dt\\&=K(t_{1})-K(t_{0})\end{aligned}}$

となる。 従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい。

特に物体に一定の力 Fが加えられ、物体の位置が ${\boldsymbol {x}}$${\boldsymbol {x}}$から ${\boldsymbol {x}}+\Delta {\boldsymbol {x}}$${\boldsymbol {x}}+\Delta {\boldsymbol {x}}$まで、$\Delta {\boldsymbol {x}}$$\Delta {\boldsymbol {x}}$ だけ変化したとき、

${\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{1})-{\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{0})={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}$${\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{1})-{\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{0})={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}$
という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。 また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。

$v^{2}(t_{1})-v^{2}(t_{0})=2{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}.$$v^{2}(t_{1})-v^{2}(t_{0})=2{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}.$

回転運動の運動エネルギー

同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、角速度 ω の2乗と慣性モーメント Iに比例する。

$K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$$K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

解析力学における運動エネルギー

ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン Lは運動エネルギー Kとポテンシャルエネルギー Vの差として定義することができる。

${\displaystyle L(q,{\dot {q}};t)=K({\dot {q}})-V($q)} $L(q,{\dot {q}};t)=K({\dot {q}})-V(q)$
この際、ラグランジアンの変数は一般化座標 ${\displaystyle q($t)} $q(t)$とその時間微分 ${\displaystyle {\dot {q}}($t)} ${\dot {q}}(t)$、及び時刻 $t$$t$である。 多くの場合、一般化座標として位置 $x$$x$や 回転角 $\theta$$\theta$とするので、運動エネルギーは

$K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2}}I_{i}{\omega _{j}}^{2}$$K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2}}I_{i}{\omega _{j}}^{2}$
となる。

ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、

$H(q,p;t)=\sum p{\dot {q}}-L$$H(q,p;t)=\sum p{\dot {q}}-L$
として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 ${\displaystyle q($t)} $q(t)$と一般化運動量 ${\displaystyle p($t)} $p(t)$である。元のラグランジアンでポテンシャルが ${\displaystyle {\dot {q}}($t)} ${\dot {q}}(t)$に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、

${\displaystyle p_{i}($t)={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}=m_{i}v_{i}} $p_{i}(t)={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}=m_{i}v_{i}$
${\displaystyle l_{j}($t)={\frac {\partial L}{\partial \omega _{j}}}=I_{j}\omega _{j}} $l_{j}(t)={\frac {\partial L}{\partial \omega _{j}}}=I_{j}\omega _{j}$
︵lは回転角度 θ に共役な角運動量︶となり、運動エネルギーは

$K=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{p_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2I_{j}}}{l_{j}}^{2}$$K=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{p_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2I_{j}}}{l_{j}}^{2}$
となる。

関連項目

• 位置エネルギー - 重力などのポテンシャルエネルギーによって発生する運動エネルギーが潜在している状態であるともいえる。