慣性モーメント

古典力学
${\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})$ 運動の第2法則
歴史
分野 静力学  · 動力学 / 物理学における動力学  · 運動学  · 応用力学  · 天体力学  · 連続体力学  · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転 · 円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン

慣性モーメント
量記号	I
次元	L2 M
種類	2階テンソル
SI単位	kg m2

慣性モーメント︵かんせいモーメント、英: moment of inertia︶あるいは慣性能率︵かんせいのうりつ︶、イナーシャ Iとは、物体の角運動量 Lと角速度 ω との間の関係を示す量である。

定義

質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル ω で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル Lは次のように書ける。


${\boldsymbol {L}}=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{i}))=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {\omega }}r_{i}^{2}-{\boldsymbol {r}}_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))$${\boldsymbol {L}}=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{i}))=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {\omega }}r_{i}^{2}-{\boldsymbol {r}}_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))$


ここでm_i は i番目の質点の質量、r_i は回転軸上の原点との相対座標でありr_iはその大きさである。この式からわかるように、L は ω と向きは必ずしも一致しないが、ω を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をIとすると、


${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {\omega }}$${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {\omega }}$

と表せる。この変換 Iは2階のテンソルであり、LとIの各成分は

${\begin{aligned}L_{j}&=\sum _{k=1}^{3}I_{jk}\omega _{k}\\I_{jk}&=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}\delta _{jk}-r_{i,j}r_{i,k}\right)\end{aligned}}$${\begin{aligned}L_{j}&=\sum _{k=1}^{3}I_{jk}\omega _{k}\\I_{jk}&=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}\delta _{jk}-r_{i,j}r_{i,k}\right)\end{aligned}}$
という形に表される。ここに δ_jk はクロネッカーのデルタ、r_i, j はベクトル r_iの j成分である。I を行列表示すると


${\boldsymbol {I}}=\sum _{i}{\begin{pmatrix}m_{i}(r_{i}^{2}-x_{i}^{2})&-m_{i}x_{i}y_{i}&-m_{i}x_{i}z_{i}\\-m_{i}y_{i}x_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-y_{i}^{2})&-m_{i}y_{i}z_{i}\\-m_{i}z_{i}x_{i}&-m_{i}z_{i}y_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-z_{i}^{2})\end{pmatrix}}$${\boldsymbol {I}}=\sum _{i}{\begin{pmatrix}m_{i}(r_{i}^{2}-x_{i}^{2})&-m_{i}x_{i}y_{i}&-m_{i}x_{i}z_{i}\\-m_{i}y_{i}x_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-y_{i}^{2})&-m_{i}y_{i}z_{i}\\-m_{i}z_{i}x_{i}&-m_{i}z_{i}y_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-z_{i}^{2})\end{pmatrix}}$

となる。この定義から Iは対称テンソルである。この2階のテンソル Iを慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ。また、慣性テンソルの対角成分 I_xx、I_yy、I_zz を︵それぞれ x、 y、 z軸に関する︶慣性モーメント係数︵英: moment of inertia coefficient︶と呼び、 I_xy、I_yz、I_zx は 慣性乗積︵英: products of inertia︶と呼ぶ。

なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 ρ を用いて


$I_{jk}=\int \rho ({\boldsymbol {x}})\left(|{\boldsymbol {x}}|^{2}\delta _{jk}-x_{j}x_{k}\right)d^{3}x$$I_{jk}=\int \rho ({\boldsymbol {x}})\left(|{\boldsymbol {x}}|^{2}\delta _{jk}-x_{j}x_{k}\right)d^{3}x$

となる。

ある軸まわりの慣性モーメント

物体をある回転軸まわりに回転させたとき、ωと同じ向きをもつ単位ベクトルnをもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。


${\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}\omega {\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})\omega \equiv I\omega$${\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}\omega {\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})\omega \equiv I\omega$

ここで、ω = |ω|は角速度の大きさである。

ここに与えられたスカラー量 $I={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})=\sum _{i}m_{i}(r_{i}^{2}-({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {n}})^{2})$$I={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})=\sum _{i}m_{i}(r_{i}^{2}-({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {n}})^{2})$をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。

慣性主軸と主慣性モーメント

慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 { e₁, e₂, e₃} を選ぶことで対角化︵すなわち I_xy= I_yz= I_zx= 0 と︶することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント { I₁, I₂, I₃} を主慣性モーメントと呼ぶ。慣性主軸座標系では角運動量は

${\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}$
と単純に表すことができる。

計算例

棒の両端の質量

重さの無視できる長さ Lの棒の両端に、質量 m、M の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ a、L - aとする。このとき、中心に対する慣性モーメント Iは、

$I=ma^{2}+M(L-a)^{2}=(m+M)\left(a-{\frac {M}{m+M}}L\right)^{2}+{\frac {mM}{m+M}}L^{2}$$I=ma^{2}+M(L-a)^{2}=(m+M)\left(a-{\frac {M}{m+M}}L\right)^{2}+{\frac {mM}{m+M}}L^{2}$
と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心︵回転軸︶のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。

円板

半径 a、全質量 Mの、一様な密度 ρ = M/ πa² をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは


$I={\frac {1}{2}}a^{2}M$$I={\frac {1}{2}}a^{2}M$

となる。

これは中心から半径 r、幅 dr<< rのリングの質量 dMを考えると


$\mathrm {d} M=2\pi r\rho \mathrm {d} r$$\mathrm {d} M=2\pi r\rho \mathrm {d} r$

より、このリングの慣性モーメント dIが


$\mathrm {d} I=r^{2}\mathrm {d} M=2\pi \rho r^{3}\mathrm {d} r$$\mathrm {d} I=r^{2}\mathrm {d} M=2\pi \rho r^{3}\mathrm {d} r$

だから


$I=\int _{0}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho \int _{0}^{a}r^{3}\mathrm {d} r={\frac {1}{2}}\rho \pi a^{4}$$I=\int _{0}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho \int _{0}^{a}r^{3}\mathrm {d} r={\frac {1}{2}}\rho \pi a^{4}$

より求めることができる。

リング状円板

円板外半径 a、くり抜き内半径 b、全質量 Mのリング状円板では、前出の dIを用いて


$I=\int _{b}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho {\frac {1}{4}}(a^{4}-b^{4})={\frac {1}{2}}\pi \rho (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})={\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2})M$$I=\int _{b}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho {\frac {1}{4}}(a^{4}-b^{4})={\frac {1}{2}}\pi \rho (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})={\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2})M$

となる。

性質

一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。

また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値 I_Gをとり、軸が重心から距離 hだけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント I_hは


$I_{h}=I_{\mathrm {G} }+Mh^{2}$$I_{h}=I_{\mathrm {G} }+Mh^{2}$

となる。

詳細は「平行軸の定理」を参照

慣性テンソル Iの物体が角速度 ω で回転しているとき、その回転に伴う運動エネルギー Tは


$T={\frac {1}{2}}\sum _{jk}I_{jk}\omega _{j}\omega _{k}$$T={\frac {1}{2}}\sum _{jk}I_{jk}\omega _{j}\omega _{k}$

と表示できる。

関連する物理量

回転半径

慣性モーメント Iは物体の質量 Mに比例するから、
$I=M\kappa ^{2}$$I=M\kappa ^{2}$
と書くことができる。この κ は長さの次元を持ち、回転半径と呼ばれる。

はずみ車効果

慣性モーメントと同じ意味を持つ物理量として、直径 Dを用いて定義されるはずみ車効果 GD²がある。
●重力単位系では、剛体の重量 G[kgf] と直径 D[m] を用いた量 GD²をはずみ車効果と呼び、単位は [kgf m²] である。慣性モーメント Iとは次元が異なり、GD² = 4gI で換算する︵g は重力加速度︶。

●国際単位系では、剛体の質量 G[kg]と直径 D[m] を用いた量 GD²をはずみ車効果と呼び、単位は [kg m²] である。慣性モーメント Iと、GD² = 4I で換算する。

応用

工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール︵はずみ車︶という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。

脚注

参考文献

●戸田, 盛和﹃力学﹄岩波書店、1982年。ISBN 4-00-007641-8。 

●谷腰, 欣司﹃小型モーターのしくみ﹄電波新聞社、2004年。ISBN 4-88554-775-X。 

●ゴールドシュタイン 著、瀬川富士、矢野忠、江沢康生 訳﹃古典力学 (上)﹄吉岡書店︿物理学叢書 (11a)﹀、1983年8月25日。ISBN 4-8427-0208-7。 

●ランダウ, L. D.、リフシッツ, E. M.﹃力学﹄広重徹, 水戸巌 ︵訳︶︵増訂第3版︶、東京図書、1986年、69-73頁。ISBN 978-4489011603。 

関連項目

●オイラーの運動方程式

●断面二次モーメント

●慣性計測装置

●慣性

回転運動と並進運動の対応一覧

量	回転運動		並進運動
力学変数	角度	${\boldsymbol {\theta }}$	位置	${\boldsymbol {r}}$
一階微分	角速度	${\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}$	速度	${\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}$
二階微分	角加速度	${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}$	加速度	${\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}$
慣性	慣性モーメント	$I$	質量	$m$
運動量	角運動量	${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}$	運動量	${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$
力	力のモーメント	${\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}$	力	${\boldsymbol {F}}$
運動方程式	${\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}$		${\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}$
運動エネルギー	${\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$		${\frac {1}{2}}mv^{2}$
仕事	${\boldsymbol {N}}\cdot \Delta {\boldsymbol {\theta }}$		${\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {r}}$
仕事率	${\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}$		${\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}$
ダンパーとばねに発生する力を 考慮した運動方程式	$I\alpha +c\omega +k\theta =N$		$ma+cv+kx=F$