存在記号

∃

存在記号︵そんざいきごう、existential quantifier︶とは、数理論理学︵特に述語論理︶において、少なくとも1つのメンバーが述語の特性や関係を満たすことを表す記号である。通常﹁∃﹂と表記され、存在量化子︵そんざいりょうかし︶、存在限量子︵そんざいげんりょうし︶、存在限定子︵そんざいげんていし︶などとも呼ばれる。この記号︵∃︶は1897年にジュゼッペ・ペアノによって導入された。

これとは対照的に全称記号は、全てのメンバーについての量化である。

概要

例として、﹁ある自然数の平方が25である﹂を表す式を考える。最も素朴な方法として、次のように式を書いていく:

0·0 = 25, または 1·1 = 25, または 2·2 = 25, または 3·3 = 25, などなど

これは ﹁または﹂を繰り返しているので、一種の論理和となっている。しかし、﹁などなど﹂があるため形式論理の論理和であるとは言えない。その代わりに以下のような文を書く:

ある自然数 $n$$n$について、$n\cdot n=25$$n\cdot n=25$ である。

これは存在量化︵existential quantification︶を用いた、形式論理として妥当な単一の文である。

この文は前者の書き方よりも正確である点に注意されたい。前者は﹁などなど﹂が全ての自然数を指し、それ以外を含まないことを汲み取れはするが、明確には述べられていない。そのため、形式的表現に変換できない。一方、後者の量化された文では、自然数について明確に言及しているため、解釈の誤りは通常の場合生じない。

5は自然数のもとで、5を $n$$n$に代入すると﹃5·5 = 25﹄となり、式は真となる。"$n\cdot n=25$$n\cdot n=25$" が5以外の自然数 $n$$n$で偽となることは関係がない。少なくとも1つの解が存在すれば、存在量化で真となるに十分である。

一方、﹁ある偶数 $n$$n$について、$n\cdot n=25$$n\cdot n=25$ である﹂という文は、偶数の解が存在しないため偽となる。また、﹁ある奇数 $n$$n$について、$n\cdot n=25$$n\cdot n=25$ である﹂という文は、5が奇数であるため真となる。この事実は変数 $n$$n$が取りうる値の範囲を示す﹁議論領域︵domain of discourse︶﹂が重要であることを示している。 何らかの述語を満たす値だけを議論領域としたい場合、存在量化では論理積を使用すればよい。 例として、﹁ある奇数 $n$$n$について、$n\cdot n=25$$n\cdot n=25$ である﹂という文は﹁ある自然数 $n$$n$について、$n$$n$ は奇数であり、かつ $n\cdot n=25$$n\cdot n=25$である﹂という文と論理的に同値である。この場合、﹁かつ﹂は論理積を表している。

数理論理学で存在量化を表す存在記号は "$\exists$$\exists$"︵サンセリフ体の "E" を裏返した字︶で表される。なお、これは英語で存在を意味するexistに由来する。 故に、$P(a,b,c)$$P(a,b,c)$ が "$a\cdot b=c$$a\cdot b=c$" を表す述語で、$\mathbf {N}$$\mathbf {N}$ が自然数の集合であるとすると、

$\exists {n}\in \mathbf {N} \,P(n,n,25)$$\exists {n}\in \mathbf {N} \,P(n,n,25)$
という論理式が以下の文を表すことになる。

ある自然数 $n$$n$について、$n\cdot n=25$$n\cdot n=25$ である。

同様に、${\displaystyle Q($n)} $Q(n)$ が ﹁$n$$n$ は偶数である﹂を表す述語とすると

${\displaystyle \exists {n}\in \mathbf {N} \,{\big (}Q($n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}} $\exists {n}\in \mathbf {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}$
という論理式が以下の文を表すことになる。

ある偶数 $n$$n$について、$n\cdot n=25$$n\cdot n=25$ である。

存在記号の各種記号法は全称記号の項目に参照されたし。

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
∃	U+2203	1-2-48	∃ ∃ ∃	存在限定子

関連項目

• 一階述語論理
• 存在汎化
• 存在例化
• 量化
• 全称記号

参考文献

• Hinman, P. (2005年). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-568-81262-0