高階述語論理

高階述語論理︵こうかいじゅつごろんり、英: Higher-order logic︶は、一階述語論理と様々な意味で対比される用語である。

例えば、その違いは量化される変項の種類にも現われている。一階述語論理では、大まかに言えば述語に対する量化ができない。述語を量化できる論理体系については二階述語論理に詳しい。

その他の違いとして、基盤となる型理論で許されている型構築の違いがある。高階述語︵higher-order predicate︶とは、引数として1つ以上の別の述語をとることができる述語である。一般に n階の高階述語の引数は1つ以上の (n − 1) 階の述語である︵ここで n>1︶。同じことは高階関数︵higher-order function︶にも言える。

高階述語論理は表現能力が高いが、その特性、特にモデル理論に関わる部分では、多くの応用について性格が良いとは言えない。クルト・ゲーデルの業績により、古典的高階述語論理の任意の標準モデルで真となる命題のみ、そしてそれらの全てを証明できるような︵帰納的に公理化された︶健全で完全な証明計算は存在しない。一方、モデルの範囲を︵非標準的モデルを含む︶ヘンキンモデルに拡大すれば、任意のモデルで真となる命題のみ、そしてそれらの全てを証明できるような、健全で完全な証明計算は存在する。

高階述語論理の例として、アロンゾ・チャーチの Simple Theory of Types や Calculus of Constructions (CoC) がある。

関連項目

• 型付きラムダ計算

参考文献

• Andrews, P.B., 2002. An Introduction to Mathematical Logic and Type Theory: To Truth Through Proof, 2nd ed. Kluwer Academic Publishers, available from Springer.
• Church, Alonzo, 1940, "A Formulation of the Simple Theory of Types," Journal of Symbolic Logic 5: 56-68.
• Henkin, Leon, 1950, "Completeness in the Theory of Types," Journal of Symbolic Logic 15: 81-91.
• Stewart Shapiro, 1991, "Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic". Oxford University Press.
• Stewart Shapiro, 2001, "Classical Logic II: Higher Order Logic," in Lou Goble, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
• Lambek, J. and Scott, P. J., 1986. Introduction to Higher Order Categorical Logic, Cambridge University Press.

外部リンク

• Miller, Dale, 1991, "Logic: Higher-order," Encyclopedia of Artificial Intelligence, 2nd ed.