「自然数」の版間の差分
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なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数(例えば 3 や 18)を指して自然数ということもある。 |
なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数(例えば 3 や 18)を指して自然数ということもある。 |
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自然界において自然に出現する数は自然数である。 |
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[[File:Number-systems.svg|thumb|right|<math>\N</math>は'''自然数'''、<math>\Z</math>は[[整数]]、<math>\Q</math>は[[有理数]]、<math>\R</math>は[[実数]]。実数は[[複素数]]︵<math>\Complex</math>︶に含まれる。]]
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[[File:Number-systems.svg|thumb|right|<math>\N</math>は'''自然数'''、<math>\Z</math>は[[整数]]、<math>\Q</math>は[[有理数]]、<math>\R</math>は[[実数]]。実数は[[複素数]]︵<math>\Complex</math>︶に含まれる。]]
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== 自然数の歴史と零の地位 == |
== 自然数の歴史と零の地位 == |
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自然数は﹁ものを数える言葉﹂を起源とし、1から始まる正の数であったと推定されている。文明が起こり、数字が考え出されたとき、[[ローマ数字]]、[[ギリシア数字]]、[[エジプト数字]]、 |
自然数は﹁ものを数える言葉﹂を起源とし、1から始まる正の数であったと推定されている。文明が起こり、数字が考え出されたとき、[[ローマ数字]]、[[ギリシア数字]]、[[エジプト数字]]、バビロニア数字、[[マヤ数字]]、[[漢数字]]、等のどれもが1から始まる正の数字であった。つまり、﹁物がある﹂という概念を量的に表そうとしたのが数であり、﹁物がない﹂という概念は﹁無い﹂という言葉で充分だった。
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最初の大きな進歩は、数を表すための[[記数法]]の発明であり、これで大きな数を記録することが出来るようになった。[[古代エジプト]]人は 1 から百万までの 10 の累乗それぞれに異なる[[ヒエログリフ]]を割り当てる記数法を用いていた。[[バビロニア]]では、数字を離して表記することでその桁が 0 であることを示す[[六十進法]]の[[位取り記数法]]に似た方法が開発された。しかし、0 を表す文字がなかったため、例えば 10203 は 0 を空白にして "1 2 3" と正しく表記できるが、10200 は "1 2" となって 102 と区別できない欠点があった。[[オルメカ]]と[[マヤ]]の文明では[[紀元前1世紀]]までには、数字を離して 0 の桁を表す方法が独立に用いられていた。 |
最初の大きな進歩は、数を表すための[[記数法]]の発明であり、これで大きな数を記録することが出来るようになった。[[古代エジプト]]人は 1 から百万までの 10 の累乗それぞれに異なる[[ヒエログリフ]]を割り当てる記数法を用いていた。[[バビロニア]]では、数字を離して表記することでその桁が 0 であることを示す[[六十進法]]の[[位取り記数法]]に似た方法が開発された。しかし、0 を表す文字がなかったため、例えば 10203 は 0 を空白にして "1 2 3" と正しく表記できるが、10200 は "1 2" となって 102 と区別できない欠点があった。[[オルメカ]]と[[マヤ]]の文明では[[紀元前1世紀]]までには、数字を離して 0 の桁を表す方法が独立に用いられていた。 |
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これは定規とコンパスによる作図で数を定義したものと解釈できる。すなわち、任意に与えた線分の長さを単位として1を定義する。そして、その線分を延長した直線上で単位を半径とする長さをコンパスで測り、その直線上でその単位を半径とする円との交点を作図し、その円の直径を2と定義する。同様にその直線上で円の直径に半径を繋いだ線分を作図し、その線分の長さを3と定義する。したがって、1は数ではなく単位であり、2, 3, 4, …が数になるため、古代ギリシア人は1を数として認識しなかったと言える。
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これは定規とコンパスによる作図で数を定義したものと解釈できる。すなわち、任意に与えた線分の長さを単位として1を定義する。そして、その線分を延長した直線上で単位を半径とする長さをコンパスで測り、その直線上でその単位を半径とする円との交点を作図し、その円の直径を2と定義する。同様にその直線上で円の直径に半径を繋いだ線分を作図し、その線分の長さを3と定義する。したがって、1は数ではなく単位であり、2, 3, 4, …が数になるため、古代ギリシア人は1を数として認識しなかったと言える。
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1世紀頃、無名の[[インド]]人によって、初めて 0 を使った完全な位取り記数法が発明された。彼は[[ソロバン]]とよく似た |
1世紀頃、無名の[[インド]]人によって、初めて 0 を使った完全な位取り記数法が発明された。彼は[[ソロバン]]とよく似たビーズ玉計算機で計算していたとき、数のない桁を 0 で書いて、ビーズ玉計算機上の各桁の数をそのまま並べて書き表すと、計算結果を素早く書き残せることに気づいた。この 0 は、インド人の言葉で空︵から︶の意味を表す﹁スーニャ﹂と呼ばれた。こうしてできた記数法は、数の記録と計算に一大革命をもたらす大発明となった。しかし、ここでの 0 は数としての 0 ではなく、空の桁を表す目印に過ぎないものであった。
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数としての 0 の概念は[[628年]]のインド人数学者[[ブラーマグプタ]]によって見出され、現代の 0 の概念と近い計算法が考え出された。 |
数としての 0 の概念は[[628年]]のインド人数学者[[ブラーマグプタ]]によって見出され、現代の 0 の概念と近い計算法が考え出された。 |
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[[19世紀]]、自然数の[[集合論]]的な[[定義]]がなされた。この定義によれば零を自然数に含める方がより便利である。集合論、[[論理学]]などの分野ではこの流儀に従うことが多い一方、[[数論]]などの分野では 0 を自然数には含めない流儀が好まれることが多い。どちらの流儀をとるにしろ、通常は著作あるいは論文毎に定義や注釈で明示される。とくに混乱を避けたい場合には、0 から始まる自然数を指すために'''非負整数'''、1から始まる自然数を指すために'''正整数'''という用語を用いることもよくある。
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[[19世紀]]、自然数の[[集合論]]的な[[定義]]がなされた。この定義によれば零を自然数に含める方がより便利である。集合論、[[論理学]]などの分野ではこの流儀に従うことが多い一方、[[数論]]などの分野では 0 を自然数には含めない流儀が好まれることが多い。どちらの流儀をとるにしろ、通常は著作あるいは論文毎に定義や注釈で明示される。とくに混乱を避けたい場合には、0 から始まる自然数を指すために'''非負整数'''、1から始まる自然数を指すために'''正整数'''という用語を用いることもよくある。
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[[計算機科学]]、特に[[ |
[[計算機科学]]、特に[[プログラミング]]ではよく 0, 1, 2, … が使われるが、これは[[記憶装置]]︵メモリー︶の住所︵アドレス︶の相対位置を表すことが多く、相対位置としては 0, -1, -2, … も処理の中で使われることから、自然数というよりは整数の範疇である。
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19世紀のドイツの数学者[[レオポルト・クロネッカー]]が「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」という言葉を残し、正の整数が自然な数と考えた頃から、'''自然数'''という用語が定着したとされる<ref>{{Harv|ベル|田中|銀林|1997}}</ref>。 |
19世紀のドイツの数学者[[レオポルト・クロネッカー]]が「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」という言葉を残し、正の整数が自然な数と考えた頃から、'''自然数'''という用語が定着したとされる<ref>{{Harv|ベル|田中|銀林|1997}}</ref>。 |
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自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない。自然数を初めに厳密に定義可能な公理として提示されたものに[[ペアノの公理]]があり︵[[1891年]]、[[ジュゼッペ・ペアノ]]︶、以下のように自然数を定義することができる。
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自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない。自然数を初めに厳密に定義可能な公理として提示されたものに[[ペアノの公理]]があり︵[[1891年]]、[[ジュゼッペ・ペアノ]]︶、以下のように自然数を定義することができる。
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* 自然数 |
* 自然数1が存在する。 |
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* 任意の自然数 |
* 任意の自然数aにはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する(suc(a) は a + ''1'' の 意味)。 |
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* 異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり ''a'' ≠ ''b'' のとき suc(''a'') ≠ suc(''b'') となる。(ある種の[[単射]]性) |
* 異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり ''a'' ≠ ''b'' のとき suc(''a'') ≠ suc(''b'') となる。(ある種の[[単射]]性) |
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* ''1'' はいかなる自然数の後者でもない(''1'' より前の自然数は存在しない)。 |
* ''1'' はいかなる自然数の後者でもない(''1'' より前の自然数は存在しない)。 |
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== 特殊な自然数 == |
== 特殊な自然数 == |
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{{See also|Category:整数の類}} |
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=== 素数 === |
=== 素数 === |
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{{Main|素数}} |
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自分自身と1以外の[[約数]]を持たない1より大きな (= 1 以外の)自然数を[[素数]]という。[[素数が無数に存在することの証明|素数が無限に存在することの証明]]は[[エウクレイデス]]の﹃[[ユークリッド原論|原論]]﹄に載っている。小さい方から列挙すると次の通りである。
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自分自身と1以外の[[約数]]を持たない1より大きな (= 1 以外の)自然数を[[素数]]という。[[素数が無数に存在することの証明|素数が無限に存在することの証明]]は[[エウクレイデス]]の﹃[[ユークリッド原論|原論]]﹄に載っている。小さい方から列挙すると次の通りである。
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: [[2]], [[3]], [[5]], [[7]], [[11]], [[13]], … |
: [[2]], [[3]], [[5]], [[7]], [[11]], [[13]], … |
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=== 双子素数 === |
=== 双子素数 === |
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{{Main|双子素数}} |
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差が 2 であるような素数の組のこと。例えば 3 と 5、41 と 43 などは[[双子素数]]である。 |
差が2であるような素数の組のこと。例えば3と5、41と43などは[[双子素数]]である。双子素数は無限にあるか、という﹁双子素数の予想﹂は未解決である。類似の概念に、[[三つ子素数]]、[[いとこ素数]]、[[セクシー素数]]などがある。
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([[3]], [[5]]), ([[5]], [[7]]), ([[11]], [[13]]), ([[17]], [[19]]), ([[29]], [[31]]), … |
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双子素数は無限にあるか、という﹁双子素数の予想﹂は未解決である。類似の概念に、[[三つ子素数]]、[[いとこ素数]]、[[セクシー素数]]などがある。
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=== 完全数 === |
=== 完全数 === |
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{{Main|完全数}} |
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[[完全数]]は自分自身を除く[[約数]]の和が自分自身と等しい自然数である。小さい方から列挙すると次の通りである。 |
[[完全数]]は自分自身を除く[[約数]]の和が自分自身と等しい自然数である。小さい方から列挙すると次の通りである。 |
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: [[6]], [[28]], [[496]], [[8128]], [[33550336]], [[8589869056]], [[137438691328]], [[2305843008139952128]], … |
: [[6]], [[28]], [[496]], [[8128]], [[33550336]], [[8589869056]], [[137438691328]], [[2305843008139952128]], … |
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[[偶数]]の完全数は[[メルセンヌ数]]と深い関係がある。知られている完全数は全て偶数であり、[[奇数]]の完全数はないと予想されている。また、無限に存在するとも予想しているが、両者とも未解決である。類似の概念に、[[友愛数]]、[[社交数]]などがある。
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[[偶数]]の完全数は[[メルセンヌ数]]と深い関係がある。知られている完全数は全て偶数であり、[[奇数]]の完全数はないと予想されている。また、無限に存在するとも予想しているが、両者とも未解決である。類似の概念に、[[友愛数]]、[[社交数]]などがある。
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=== 友愛数 === |
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{{Main|友愛数}} |
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[[友愛数]](親和数とも言う)とは、異なる2つの自然数の組で、自分自身を除いた[[約数]]の和が互いに他方と等しくなるような数のことである。[[220]]と[[284]]、[[1184]]と[[1210]]などが例として挙げられる。 |
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== いくつかの自然数へのリンク == |
== いくつかの自然数へのリンク == |
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{{自然数}} |
{{自然数}} |
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* [[100]] [[200]] [[300]] [[400]] [[500]] [[600]] [[700]] [[800]] [[900]] |
* [[100]] [[200]] [[300]] [[400]] [[500]] [[600]] [[700]] [[800]] [[900]] |
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* [[10]] [[100]] [[1000]] [[10000]] [[100000]] [[1000000]] [[10000000]] [[100000000]] |
* [[10]] [[100]] [[1000]] [[10000]] [[100000]] [[1000000]] [[10000000]] [[100000000]] |
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* {{index|p=title=Category:整数&from=3|3桁の自然数}} |
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* 1000から[[4294967296]]{{index|p=title=Category:整数&from=4|までの自然数}} |
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== 出典 == |
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{{脚注ヘルプ}} |
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{{Reflist}} |
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2024年2月1日 (木) 08:13時点における最新版
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Numbers_grid_in_NY.jpg/220px-Numbers_grid_in_NY.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Three_apples%281%29.svg/220px-Three_apples%281%29.svg.png)
記法
[編集]自然数全体の成す集合は普通 Natural number の頭文字をとって N または と表される。
0 を含むかどうかの曖昧さを避けるために、正の整数(0 を含まない)を次のように表すこともある:
- N+ () または N+ ()
- Z+ () または Z+ () または Z> 0 ()
また、非負整数(0 を含む)を表すのに、次の記法が使われることもある:
- N0 () または N0 ()
- Z+0 () または Z≥ 0 ()
- Z+ () または Z+ () はこちらの意味でも使われる
自然数の歴史と零の地位
[編集]形式的な定義
[編集]自然数の公理
[編集]0 := {}
●1 := suc(0) = {0} = {{}}
●2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}}
= { {}, {{}} }
●3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {
0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}
, {{}} } }
等々である[3]。
このように定義された集合 nは丁度︵通常の意味で︶n 個の元を含むことになる。また、これは有限順序数の構成であり、︵通常の意味で︶n ≤ mが成り立つことと nが mの部分集合であることは同値である。
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
●0 := {}
●1 := {0} = {{}}
●2 := {1} = {{{}}}
●3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。また、0 := {{}}, suc(a) := a∪ {a} と定義したならば、
●0 := {{}}
●1 := {{}, 0} = {{}, {{}}}
●2 := {{}, 0, 1} = {{}, {{}}, {{}
,{{}}} }
●3 := {{}, 0, 1, 2} = {{}, {{}},
{{},{{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}}
}
のような多少複雑な自然数になる。
加法と乗法
[編集]順序
[編集]除法
[編集]特殊な自然数
[編集]素数
[編集]双子素数
[編集]完全数
[編集]友愛数
[編集]友愛数(親和数とも言う)とは、異なる2つの自然数の組で、自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような数のことである。220と284、1184と1210などが例として挙げられる。
いくつかの自然数へのリンク
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70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 |
80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |
90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 |
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- 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
- 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
- 100 200 300 400 500 600 700 800 900
- 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000
出典
[編集]- ^ (ユークリッド 1971, p. 149)
- ^ (ベル, 田中 & 銀林 1997)
- ^ (von Neumann 1923)
参考文献
[編集]関連文献
[編集]関連項目
[編集]外部リンク
[編集]- 小学館 日本大百科全書『自然数』- Yahoo!百科事典 (archive.today へのリンク)
- 世界大百科事典 第2版『自然数』 - コトバンク
- Weisstein, Eric W. "Natural Number". mathworld.wolfram.com (英語).
- オンライン整数列大辞典の数列 A000027