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こ の 項 目 ﹁ 重 力 に よ る 時 間 の 遅 れ ﹂ は 翻 訳 さ れ た ば か り の も の で す 。 不 自 然 あ る い は 曖 昧 な 表 現 な ど が 含 ま れ る 可 能 性 が あ り 、 こ の ま ま で は 読 み づ ら い か も し れ ま せ ん 。 ︵ 原 文 ‥ G r a v i t a t i o n a l t i m e d i l a t i o n ︶
修 正 、 加 筆 に 協 力 し 、 現 在 の 表 現 を よ り 自 然 な 表 現 に し て 下 さ る 方 を 求 め て い ま す 。 ノ ー ト ペ ー ジ や 履 歴 も 参 照 し て く だ さ い 。 ︵ 2 0 2 3 年 10 月 ︶
一般相対性理論
G
μ
ν
+
Λ
g
μ
ν
=
8
π
G
c
4
T
μ
ν
{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}
アインシュタイン方程式
入門 数学的定式化 関連書籍
重 力 に よ る 時 間 の 遅 れ ︵ じ ゅ う り ょ く に よ る じ か ん の お く れ 、 英 語 : G r a v i t a t i o n a l t i m e d i l a t i o n ︶ と は 時 間 の 遅 れ の 一 種 で 、 重 力 質 量 か ら そ れ ぞ れ 異 な る 距 離 に あ る 観 測 者 ︵ 英 語 版 ︶ ら に よ り 観 測 さ れ た 二 つ の 事 象 ︵ 英 語 版 ︶ 間 で の 、 実 際 の 経 過 時 間 の 違 い で あ る 。 重 力 ポ テ ン シ ャ ル が 低 け れ ば 低 い ほ ど ︵ 時 計 が 重 力 源 に 近 け れ ば 近 い ほ ど ︶ 時 間 の 経 過 は 遅 く な り 、 重 力 ポ テ ン シ ャ ル が 高 く な れ ば な る ほ ど ︵ 時 計 が 重 力 源 か ら 遠 ざ か れ ば 遠 ざ か る ほ ど ︶ 時 間 経 過 は 速 く な る 。 ア ル ベ ル ト ・ ア イ ン シ ュ タ イ ン が 最 初 に こ の 効 果 を 相 対 性 理 論 に 基 い て 予 言 し 、 そ の 後 一 般 相 対 性 理 論 の 検 証 ︵ 英 語 版 ︶ に お い て 確 か め ら れ た [ 1 ] 。
こ れ は そ れ ぞ れ 異 な る 高 度 ︵ す な わ ち 異 な る 重 力 ポ テ ン シ ャ ル ︶ に あ る 原 子 時 計 が 、 し ば ら く す る と そ れ ぞ れ 異 な る 時 間 を 指 す こ と に よ っ て 立 証 さ れ て い る 。 こ の よ う な 実 験 を 地 球 上 で 行 う 限 り に お い て は そ の 効 果 は 僅 か な も の で 、 ナ ノ 秒 単 位 で の 差 に と ど ま る 。 し か し 数 十 億 年 と い う 地 球 の 年 齢 を 引 き 合 い に す る な ら 、 地 球 の 核 は 地 表 よ り 2 . 5 年 若 い 、 と い う こ と が で き る [ 2 ] 。 よ り 大 き な 効 果 を 示 す に は 、 地 球 か ら 大 き く 離 れ る か 、 よ り 強 い 重 力 源 を 必 要 と す る 。
重 力 に よ る 時 間 の 遅 れ は 対 象 物 の 加 速 す る 環 境 で 特 殊 相 対 性 理 論 の 結 果 と し て 1 9 0 7 年 に ア ル ベ ル ト ・ ア イ ン シ ュ タ イ ン に よ り 初 め て 記 述 さ れ た [ 3 ] 。 一 般 相 対 性 理 論 で は 時 空 の 計 量 テ ン ソ ル ︵ 英 語 版 ︶ に よ り 表 さ れ る よ う に 異 な る 位 置 の 固 有 時 の 経 過 の 中 で の 違 い で あ る と 考 え ら れ て い る 。 重 力 に よ る 時 間 の 遅 れ が 存 在 す る こ と は 1 9 5 9 年 に ポ ン ド ・ レ ブ カ 実 験 ︵ 英 語 版 ︶ に よ り 初 め て 直 接 確 認 さ れ 、 後 に 重 力 プ ロ ー ブ A ︵ 英 語 版 ︶ な ど の 実 験 で 正 確 な も の と な っ た 。
重 力 に よ る 時 間 の 遅 れ は 重 力 赤 方 偏 移 ︵ 英 語 版 ︶ に 密 接 に 関 わ っ て い る [ 4 ] 。 ︵ 一 定 の 周 波 数 の 光 を 放 つ ︶ 近 い 方 の 物 体 は 引 き つ け ら れ る 物 体 に 向 か い 、 多 く は 時 間 は 重 力 に よ る 時 間 の 遅 れ に よ り 遅 く な り 、 ︵ 更 に ﹁ 赤 方 偏 移 し た ﹂ ︶ 低 い 周 波 数 は 定 位 置 の 観 測 者 か ら 観 測 さ れ る よ う に 放 た れ る 光 の 周 波 数 の よ う に 見 え る 。
巨 大 な 物 体 か ら 遠 く 離 れ た ︵ ま た は 高 い 重 力 ポ テ ン シ ャ ル に あ る ︶ 時 計 は 早 く 進 み 、 巨 大 な 物 体 に 近 い ︵ ま た は 低 い 重 力 ポ テ ン シ ャ ル に あ る ︶ 時 計 は 遅 く 進 む 。 例 え ば 地 球 の 全 期 間 ︵ 46 億 年 ︶ を 考 慮 に 入 れ る と 、 恐 ら く エ ベ レ ス ト 山 頂 ︵ プ ロ ミ ネ ン ス 8 8 4 8 m ︶ の よ う に 海 抜 9 0 0 0 メ ー ト ル の 高 さ で 地 球 静 止 軌 道 上 に あ る 位 置 に 置 か れ た 時 計 は 海 面 上 の 時 計 よ り 約 39 時 間 進 む [ 5 ] [ 6 ] 。 こ の こ と は g r a v i t a t i o n a l t i m e d i l a t i o n が 巨 大 な 重 力 場 で 加 速 す る 基 準 系 に よ り ︵ ま た は 等 価 原 理 に よ り ︶ 証 明 さ れ る 理 由 で あ る [ 7 ] 。
一 般 相 対 性 理 論 に よ る と 慣 性 質 量 と 引 力 質 量 は 同 じ で 、 ︵ 特 有 の 時 間 の 遅 れ が あ る 定 速 で 回 転 す る 基 準 系 ︵ 英 語 版 ︶ の よ う な ︶ 加 速 を 受 け る 基 準 系 全 て が 物 理 法 則 に お い て は 、 同 じ 強 度 の 重 力 場 と 等 価 で あ る [ 8 ] 。
真 っ 直 ぐ な ﹁ 垂 直 ﹂ 線 に 沿 っ た 観 測 者 の 一 群 を 考 え て み よ う 。 そ れ ぞ れ が こ の 線 に 沿 っ て ︵ 例 え ば 長 く 加 速 す る 宇 宙 船 や [ 9 ] [ 1 0 ] 摩 天 楼 、 惑 星 上 の 縦 坑 ︶ 向 け ら れ る 明 確 な 一 定 の g 力 を 経 験 す る 。
g
(
h
)
{\displaystyle g(h )}
に 前 述 の 線 に 沿 っ た 同 位 物 で あ る ﹁ 高 さ ﹂ に 対 す る g 力 を 依 存 さ せ て み よ う 。
h
=
0
{\displaystyle h=0}
の 基 礎 と な る 観 測 者 に 関 す る 方 程 式 は
T
d
(
h
)
{\displaystyle T_{d}(h )}
が 離 れ た 位 置
h
{\displaystyle h}
の 全 体 的 な 時 間 の 遅 れ で あ り
g
(
h
)
{\displaystyle g(h )}
が ﹁ 高 さ ﹂
h
{\displaystyle h}
に 対 す る g 力 の 依 存 で あ り
c
{\displaystyle c}
は 光 速 で あ り
exp
{\displaystyle \exp }
が e に よ る 冪 乗 を 示 す
T
d
(
h
)
=
exp
[
1
c
2
∫
0
h
g
(
h
′
)
d
h
′
]
{\displaystyle T_{d}(h )=\exp \left[{\frac {1}{c^{2}}}\int _{0}^{h}g(h')dh'\right]}
で あ る 。
分 か り 易 く す る た め に 平 坦 な 時 空 間 の リ ン ド ラ ー の 観 測 者 の 一 群 で は 依 存 関 係 は 不 変 の
H
{\displaystyle H}
の あ る
g
(
h
)
=
c
2
/
(
H
+
h
)
{\displaystyle g(h )=c^{2}/(H+h)}
で あ り 、
T
d
(
h
)
=
e
ln
(
H
+
h
)
−
ln
H
=
H
+
h
H
{\displaystyle T_{d}(h )=e^{\ln(H+h)-\ln H}={\tfrac {H+h}{H}}}
を 与 え る 。
一 方 で
g
{\displaystyle g}
が ほ ぼ 一 定 で
g
h
{\displaystyle gh}
が
c
2
{\displaystyle c^{2}}
よ り 小 さ い 場 合 一 次 元 の ﹁ 弱 い 場 ﹂ の 近 似 式 は
T
d
=
1
+
g
h
/
c
2
{\displaystyle T_{d}=1+gh/c^{2}}
が 使 え る 。
平 坦 な 時 空 間 に お け る 回 転 す る 参 照 枠 に 対 す る 同 じ 公 式 の 適 用 は エ ー レ ン フ ェ ス ト パ ラ ド ッ ク ス ︵ 英 語 版 ︶ を 参 照 し て く だ さ い 。
回 転 し な い 領 域 の 外 側 [ 編 集 ]
重 力 作 用 の 時 間 の 遅 れ を 測 定 す る の に 使 わ れ る 共 通 の 方 程 式 は シ ュ ワ ル ツ シ ル ト 解 か ら 引 き 出 さ れ 、 回 転 し な い 巨 大 な 円 対 称 ︵ 英 語 版 ︶ の 軌 道 を 表 し て い る 。 方 程 式 は
●
t
0
{\displaystyle t_{0}}
が 巨 大 な 領 域 ︵ 例 え ば 重 力 場 内 の 深 み ︶ に 接 近 す る 観 測 者 に と っ て の 二 つ の 事 象 の 間 の 特 有 の 時 間 で あ る 。
●
t
f
{\displaystyle t_{f}}
は 巨 大 な 軌 道 か ら の 任 意 の 長 距 離 の 観 測 者 に と っ て の 事 象 の 間 の 同 等 の 時 間 で あ る ︵ こ れ は 遙 か に 離 れ た 観 測 者 が 近 接 し た 時 計 が こ の 速 度 で 時 を 刻 む 一 方 で 巨 大 な 領 域 か ら の 無 限 の 距 離 の 時 計 が 秒 ご と に 時 を 刻 む 同 等 の 体 制 で あ る シ ュ ワ ル ツ シ ル ト 時 空 ︵ 英 語 版 ︶ を 使 っ て い る こ と を 仮 定 し て い る ︶ 。
●
G
{\displaystyle G}
は 万 有 引 力 定 数 で あ る 。
●
M
{\displaystyle M}
は 重 力 場 を 作 る 軌 道 の 質 量 で あ る 。
●
r
{\displaystyle r}
は 重 力 場 内 の 観 測 者 の 半 径 座 標 で あ る ︵ こ の 座 標 は 軌 道 の 中 心 か ら の 古 典 的 な 距 離 に 類 似 し て い る が 、 実 際 は シ ュ ワ ル ツ シ ル ト 座 標 で あ り 、 こ の 形 式 の 方 程 式 は
r
>
r
s
{\displaystyle r>r_{s}}
に と っ て の 本 当 の 解 決 策 が あ る 。 ︶ 。
●
c
{\displaystyle c}
は 光 速 で あ る 。
●
r
s
=
2
G
M
/
c
2
{\displaystyle r_{s}=2GM/c^{2}}
は
M
{\displaystyle M}
の シ ュ ワ ル ツ シ ル ト 半 径 で あ る 。
●
v
e
=
2
G
M
r
{\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}
は 脱 出 速 度 で あ る 。
●
β
e
=
v
e
/
c
{\displaystyle \beta _{e}=v_{e}/c}
は 光 速 の 比 と し て 説 明 さ れ る 脱 出 速 度 で あ る 。
t
0
=
t
f
1
−
2
G
M
r
c
2
=
t
f
1
−
r
s
r
=
t
f
1
−
v
e
2
c
2
=
t
f
1
−
β
e
2
<
t
f
{\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {v_{e}^{2}}{c^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-\beta _{e}^{2}}}<t_{f}}
で あ る 。
こ こ で 回 転 の 効 果 の 原 因 を 説 明 す る こ と な く 例 証 す る に は 、 地 球 の 重 力 井 に 近 接 す る こ と は 距 離 の あ る 観 測 者 の 時 計 よ り 1 年 を 超 え て 0 . 0 2 1 9 秒 ほ ど 惑 星 表 面 の 時 計 が 進 む 原 因 と な る 。 対 し て 太 陽 表 面 の 時 計 は 1 年 で 約 6 6 . 4 秒 進 む 。
回 転 軌 道 [ 編 集 ]
シ ュ ワ ル ツ シ ル ト 解 で は 軌 道 半 径 が
3
2
r
s
{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}r_{s}}
︵ 光 子 球 の 半 径 ︶ よ り 大 き け れ ば 自 由 落 下 す る 軌 道 は 回 転 軌 道 に あ る か も 知 れ な い 。 静 止 す る 時 計 の 公 式 は 上 記 の 通 り で あ り 、 下 記 の 公 式 は 回 転 軌 道 の 時 計 の た め の 一 般 相 対 性 理 論 の 時 間 の 遅 れ を 示 し て い る [ 1 1 ] [ 1 2 ] 。
t
0
=
t
f
1
−
3
2
⋅
r
s
r
.
{\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {3}{2}}\!\cdot \!{\frac {r_{s}}{r}}}}\,.}
両 方 の 遅 れ は 下 記 の 図 表 に 示 し て い る 。
重 力 に よ る 時 間 の 遅 れ の 重 要 な 特 徴 [ 編 集 ]
● 一 般 相 対 性 理 論 に よ る と 重 力 に よ る 時 間 の 遅 れ は 加 速 度 系 ︵ 英 語 版 ︶ の 存 在 を 伴 う 共 存 で あ る 。 加 え て 同 様 の 環 境 に お け る 物 理 事 象 は 全 て 一 般 相 対 性 理 論 で 使 わ れ る 等 価 原 理 に よ る と 等 し く 時 間 の 遅 れ を 経 験 す る 。
● あ る 場 面 の 光 速 は そ こ に い る 観 測 者 に よ る と 常 に c に 等 し い 。 そ れ は 全 て の 時 空 の 微 少 な 区 域 が 自 身 の 適 切 な 時 間 を 割 り 当 て ら れ る 可 能 性 が あ り そ の 区 域 の 適 切 な 時 間 に よ る と 光 速 は 常 に c で あ る と い う こ と で あ る 。 こ れ は 与 え ら れ た 区 域 が 観 測 者 に 占 有 さ れ て い る か い な い か の 事 例 で あ る 。 遅 延 は 地 球 か ら 放 た れ る 光 子 や 太 陽 近 傍 の 湾 曲 、 金 星 へ の 旅 行 、 同 様 の 航 路 に 沿 っ た 地 球 へ の 帰 還 と し て 計 測 さ れ る 可 能 性 が あ る 。 太 陽 周 辺 の 有 限 の 距 離 を 移 動 す る 光 を 観 測 す る 速 度 が c と は 違 う こ と に な る 一 方 で 、 そ の 区 域 の 光 子 の 速 度 を 観 測 す る 観 測 者 が c で あ る こ の 光 子 の 速 度 を 見 出 す こ と に な る の で 、 こ こ で は 光 速 の 安 定 が 侵 害 さ れ る こ と は な い 。
● 観 測 者 が 遠 隔 操 作 ︵ 遠 隔 操 作 を 区 切 る 離 れ た 場 面 ︶ で 光 を 探 知 で き れ ば 、 最 初 の 観 測 者 が 遠 方 の 光 と 遠 方 の 拡 張 す る 観 測 者 の 両 方 が 最 初 の 観 測 者 が 本 当 に ︵ 自 身 の 場 所 で ︶ 観 測 で き る 他 の あ ら ゆ る 光 の よ う に c の 最 初 の 観 測 者 に 来 る 他 の 光 よ り 遅 い 時 計 を 持 っ て い る 時 間 は 巨 大 な 物 体 に 近 い 方 の 観 測 者 を 大 き く す る 。 他 の 遠 方 の 光 が 結 局 最 初 の 観 測 者 を 拡 張 す る な ら 、 そ れ も 最 初 の 観 測 者 に よ り c と し て 計 測 さ れ る こ と に な る 。
● 重 力 に よ る 井 戸 に お け る 重 力 に よ る 時 間 の 遅 れ
T
{\displaystyle T}
は こ の 重 力 に よ る 井 戸 を 抜 け 出 す の に 必 要 な 速 度 の た め の 時 間 の 遅 れ に 等 し い ︵ 測 定 法 は
g
=
(
d
t
/
T
(
x
)
)
2
−
g
s
p
a
c
e
{\displaystyle g=(dt/T(x ))^{2}-g_{space}}
の 形 式 の も の を 与 え ら れ る 。 例 え ば 一 定 の 時 間 で あ り 、
d
x
d
t
{\displaystyle dxdt}
の 期 間 に ﹁ 動 き ﹂ は な い 。 ︶ 。 こ れ を 示 す た め に 無 限 大 の 井 戸 に 自 由 落 下 す る 物 体 に ネ ー タ ー の 定 理 を 応 用 で き る 。 そ の 際 測 定 法 上 の 時 空 の 一 致 は 量
g
(
v
,
d
t
)
=
v
0
/
T
2
{\displaystyle g(v,dt)=v^{0}/T^{2}}
の 保 存 を 暗 示 し て い て 、 そ こ で は
v
0
{\displaystyle v^{0}}
は 物 体 の 4 元 速 度 ︵ 英 語 版 ︶ の 構 成 要 素 を な す 時 空 で あ る 。 無 限 大
g
(
v
,
d
t
)
=
1
{\displaystyle g(v,dt)=1}
に お い て 、 つ ま り
v
0
=
T
2
{\displaystyle v^{0}=T^{2}}
ま た は そ こ で の 時 間 の 遅 れ に 適 合 す る 座 標
v
l
o
c
0
=
T
{\displaystyle v_{loc}^{0}=T}
に お い て そ れ は 獲 得 し た 速 度 に よ る 時 間 の 遅 れ が ︵ 落 下 す る 物 体 の 位 置 で 計 測 さ れ る よ う に ︶ 物 体 が 落 下 す る 井 戸 の 重 力 に よ る 時 間 の 遅 れ に 等 し い 。 こ の 議 論 を 更 に 一 般 化 し な が ら 、 ︵ 計 測 法 に お け る 同 じ 仮 定 に 基 づ い て ︶ 二 地 点 間 の 関 連 す る 重 力 に よ る 時 間 の 遅 れ が 低 い と こ ろ か ら 高 い と こ ろ に 上 る の に 必 要 な 時 間 の 遅 れ に 等 し い 。
実 験 に 基 づ く 確 認 [ 編 集 ]
人工衛星の時計は軌道上の速度により遅れるが、地球の重力井からの距離により加速する。
関連項目 [ 編集 ]
^ Einstein, A. (February 2004). Relativity : the Special and General Theory by Albert Einstein . Project Gutenberg . https://www.gutenberg.org/ebooks/5001
^ Uggerhøj, U I; Mikkelsen, R E; Faye, J (2016). “The young centre of the Earth”. European Journal of Physics 37 (3): 035602. arXiv :1604.05507 . Bibcode : 2016EJPh...37c5602U . doi :10.1088/0143-0807/37/3/035602 .
^ A. Einstein, "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen", Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik 4, 411–462 (1907); English translation, in "On the relativity principle and the conclusions drawn from it", in "The Collected Papers", v.2, 433–484 (1989); also in H M Schwartz, "Einstein's comprehensive 1907 essay on relativity, part I", American Journal of Physics vol.45,no.6 (1977) pp.512–517; Part II in American Journal of Physics vol.45 no.9 (1977), pp.811–817; Part III in American Journal of Physics vol.45 no.10 (1977), pp.899–902, see parts I, II and III .
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^ Hassani, Sadri (2011). From Atoms to Galaxies: A Conceptual Physics Approach to Scientific Awareness . CRC Press. p. 433. ISBN 978-1-4398-0850-4 . https://books.google.com/books?id=oypZ_a9pqdsC&pg=PA433 Extract of page 433
^ Topper, David (2012). How Einstein Created Relativity out of Physics and Astronomy (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 118. ISBN 978-1-4614-4781-8 . https://books.google.com/books?id=2U6qvi5TlE4C Extract of page 118
^ John A. Auping, Proceedings of the International Conference on Two Cosmological Models , Plaza y Valdes, ISBN 9786074025309
^ Johan F Prins, On Einstein's Non-Simultaneity, Length-Contraction and Time-Dilation
^ Kogut, John B. (2012). Introduction to Relativity: For Physicists and Astronomers (illustrated ed.). Academic Press. p. 112. ISBN 978-0-08-092408-3 . https://books.google.com/books?id=9AKPpSxiN4IC
^ Bennett, Jeffrey (2014). What Is Relativity?: An Intuitive Introduction to Einstein's Ideas, and Why They Matter (illustrated ed.). Columbia University Press. p. 120. ISBN 978-0-231-53703-2 . https://books.google.com/books?id=OiquAgAAQBAJ Extract of page 120
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^ Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (2000). Exploring Black Holes . Addison Wesley Longman. p. 8 -22. ISBN 978-0-201-38423-9 . https://archive.org/details/exploringblackho00tayl_147
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^ Thornton, Stephen T.; Rex, Andrew (2006). Modern Physics for Scientists and Engineers (3rd, illustrated ed.). Thomson, Brooks/Cole. p. 552. ISBN 978-0-534-41781-9 . https://books.google.com/books?id=g74rAAAAYAAJ
参考文献 [ 編集 ]
主要概念
単位と規格
時計
編年 ・ 歴史
宗教 ・ 神話
哲学
人間の経験と 時間の利用
分野別の時間
関連項目